Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3400 / 958
↖ ↑ ↗
← N 79.702906°
W 30.585937°		 ← 873.47 m → N 79.702906°
W 30.541992°		 →
↑
873.78 m
↓
↑
873.78 m
↓
N 79.695048°
W 30.585937°		 ← 874.13 m →
763 513 m²		 N 79.695048°
W 30.541992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41510009765625 y=0.11700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41510009765625 × 213)
    floor (0.41510009765625 × 8192)
    floor (3400.5)     		tx = 3400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11700439453125 × 213)
    floor (0.11700439453125 × 8192)
    floor (958.5)     		ty = 958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3400 / 958 ti = "13/3400/958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3400/958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3400 ÷ 213
    3400 ÷ 8192     		x = 0.4150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 958 ÷ 213
    958 ÷ 8192     		y = 0.116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53382531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116943359375 × 2 - 1) × π
    0.76611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40681585612378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53382531} λ = -0.53382531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40681585612378))-π/2
    2×atan(11.098565393356)-π/2
    2×1.48093723577116-π/2
    2.96187447154232-1.57079632675     		φ = 1.39107814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53382531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39107814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.702906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3400 KachelY 958 -0.53382531 1.39107814 -30.585937 79.702906
    Oben rechts KachelX + 1 3401 KachelY 958 -0.53305832 1.39107814 -30.541992 79.702906
    Unten links KachelX 3400 KachelY + 1 959 -0.53382531 1.39094099 -30.585937 79.695048
    Unten rechts KachelX + 1 3401 KachelY + 1 959 -0.53305832 1.39094099 -30.541992 79.695048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39107814-1.39094099) × R
    0.00013715000000003 × 6371000     		dl = 873.782650000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39107814-1.39094099) × R
    0.00013715000000003 × 6371000     		dr = 873.782650000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53382531--0.53305832) × cos(1.39107814) × R
    0.000766990000000023 × 0.178752306175962 × 6371000     		do = 873.471944700892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53382531--0.53305832) × cos(1.39094099) × R
    0.000766990000000023 × 0.178887245571085 × 6371000     		du = 874.131325149718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39107814)-sin(1.39094099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178752306175962-0.178887245571085)×R²
    abs(-0.53305832--0.53382531)×0.000134939395123185×R²
    0.000766990000000023×0.000134939395123185×6371000²
    0.000766990000000023×0.000134939395123185×40589641000000     		ar = 763512.709334605m²