Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 340 / 730
↖ ↑ ↗
← S 60.586967°
W 60.468750°		 ← 19.198 km → S 60.586967°
W 60.117188°		 →
↑
19.147 km
↓
↑
19.147 km
↓
S 60.759159°
W 60.468750°		 ← 19.096 km →
366.604 km²		 S 60.759159°
W 60.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33251953125 y=0.71337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33251953125 × 210)
    floor (0.33251953125 × 1024)
    floor (340.5)     		tx = 340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71337890625 × 210)
    floor (0.71337890625 × 1024)
    floor (730.5)     		ty = 730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 340 / 730 ti = "10/340/730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/340/730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 340 ÷ 210
    340 ÷ 1024     		x = 0.33203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 730 ÷ 210
    730 ÷ 1024     		y = 0.712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33203125 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.712890625 × 2 - 1) × π
    -0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05537878} λ = -1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.33763124699805))-π/2
    2×atan(0.262466651481018)-π/2
    2×0.25667713144649-π/2
    0.51335426289298-1.57079632675     		φ = -1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 340 KachelY 730 -1.05537878 -1.05744206 -60.468750 -60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 341 KachelY 730 -1.04924286 -1.05744206 -60.117188 -60.586967
    Unten links KachelX 340 KachelY + 1 731 -1.05537878 -1.06044738 -60.468750 -60.759159
    Unten rechts KachelX + 1 341 KachelY + 1 731 -1.04924286 -1.06044738 -60.117188 -60.759159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05744206--1.06044738) × R
    0.00300531999999998 × 6371000     		dl = 19146.8937199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05744206--1.06044738) × R
    0.00300531999999998 × 6371000     		dr = 19146.8937199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05537878--1.04924286) × cos(-1.05744206) × R
    0.00613591999999996 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 19198.1296226604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05537878--1.04924286) × cos(-1.06044738) × R
    0.00613591999999996 × 0.48848175855426 × 6371000     		du = 19095.7026837022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05744206)-sin(-1.06044738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.48848175855426)×R²
    abs(-1.04924286--1.05537878)×0.00262015449729208×R²
    0.00613591999999996×0.00262015449729208×6371000²
    0.00613591999999996×0.00262015449729208×40589641000000     		ar = 366604244.579972m²