Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 34 / 104
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
W132.187500°		 ← 132.677 km → N 31.952162°
W130.781250°		 →
↑
133.532 km
↓
↑
133.532 km
↓
N 30.751278°
W132.187500°		 ← 134.382 km →
17 831.1 km²		 N 30.751278°
W130.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134765625 y=0.408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134765625 × 28)
    floor (0.134765625 × 256)
    floor (34.5)     		tx = 34
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408203125 × 28)
    floor (0.408203125 × 256)
    floor (104.5)     		ty = 104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 34 / 104 ti = "8/34/104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/34/104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34 ÷ 28
    34 ÷ 256     		x = 0.1328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104 ÷ 28
    104 ÷ 256     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1328125 × 2 - 1) × π
    -0.734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30710710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30710710} λ = -2.30710710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30710710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34 KachelY 104 -2.30710710 0.55767043 -132.187500 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 35 KachelY 104 -2.28256341 0.55767043 -130.781250 31.952162
    Unten links KachelX 34 KachelY + 1 105 -2.30710710 0.53671105 -132.187500 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 35 KachelY + 1 105 -2.28256341 0.53671105 -130.781250 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.53671105) × R
    0.0209593800000001 × 6371000     		dl = 133532.209980001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.53671105) × R
    0.0209593800000001 × 6371000     		dr = 133532.209980001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30710710--2.28256341) × cos(0.55767043) × R
    0.0245436900000002 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 132676.594709723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30710710--2.28256341) × cos(0.53671105) × R
    0.0245436900000002 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 134381.74866004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.859395006889381)×R²
    abs(-2.28256341--2.30710710)×0.0109047605459229×R²
    0.0245436900000002×0.0109047605459229×6371000²
    0.0245436900000002×0.0109047605459229×40589641000000     		ar = 17831098156.9223m²