Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 34 / 1
↖ ↑ ↗
← N 84.802474°
W 84.375000°		 ← 28.331 km → N 84.802474°
W 81.562500°		 →
↑
29.034 km
↓
↑
29.034 km
↓
N 84.541361°
W 84.375000°		 ← 29.750 km →
843.165 km²		 N 84.541361°
W 81.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26953125 y=0.01171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26953125 × 27)
    floor (0.26953125 × 128)
    floor (34.5)     		tx = 34
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.01171875 × 27)
    floor (0.01171875 × 128)
    floor (1.5)     		ty = 1
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 34 / 1 ti = "7/34/1"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/34/1.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34 ÷ 27
    34 ÷ 128     		x = 0.265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1 ÷ 27
    1 ÷ 128     		y = 0.0078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265625 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0078125 × 2 - 1) × π
    0.984375 × 3.1415926535     		Φ = 3.09250526828906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47262156} λ = -1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.09250526828906))-π/2
    2×atan(22.0322054780607)-π/2
    2×1.52543935355625-π/2
    3.0508787071125-1.57079632675     		φ = 1.48008238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.48008238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.802474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34 KachelY 1 -1.47262156 1.48008238 -84.375000 84.802474
    Oben rechts KachelX + 1 35 KachelY 1 -1.42353417 1.48008238 -81.562500 84.802474
    Unten links KachelX 34 KachelY + 1 2 -1.47262156 1.47552510 -84.375000 84.541361
    Unten rechts KachelX + 1 35 KachelY + 1 2 -1.42353417 1.47552510 -81.562500 84.541361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.48008238-1.47552510) × R
    0.00455728 × 6371000     		dl = 29034.43088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.48008238-1.47552510) × R
    0.00455728 × 6371000     		dr = 29034.43088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47262156--1.42353417) × cos(1.48008238) × R
    0.0490873900000002 × 0.0905895834927595 × 6371000     		do = 28330.6023947881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47262156--1.42353417) × cos(1.47552510) × R
    0.0490873900000002 × 0.0951271689464025 × 6371000     		du = 29749.6676378666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.48008238)-sin(1.47552510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0905895834927595-0.0951271689464025)×R²
    abs(-1.42353417--1.47262156)×0.00453758545364295×R²
    0.0490873900000002×0.00453758545364295×6371000²
    0.0490873900000002×0.00453758545364295×40589641000000     		ar = 843165252.172179m²