Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33998 / 34163
↖ ↑ ↗
← S  7.640220°
E  6.756592°		 ← 605.43 m → S  7.640220°
E  6.762085°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
S  7.645665°
E  6.756592°		 ← 605.42 m →
366 507 m²		 S  7.645665°
E  6.762085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518775939941406 y=0.521293640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518775939941406 × 216)
    floor (0.518775939941406 × 65536)
    floor (33998.5)     		tx = 33998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521293640136719 × 216)
    floor (0.521293640136719 × 65536)
    floor (34163.5)     		ty = 34163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33998 / 34163 ti = "16/33998/34163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33998/34163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33998 ÷ 216
    33998 ÷ 65536     		x = 0.518768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34163 ÷ 216
    34163 ÷ 65536     		y = 0.521286010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518768310546875 × 2 - 1) × π
    0.03753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11792477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521286010742188 × 2 - 1) × π
    -0.042572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.133743949939957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11792477} λ = 0.11792477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133743949939957))-π/2
    2×atan(0.874814032114113)-π/2
    2×0.718724662969855-π/2
    1.43744932593971-1.57079632675     		φ = -0.13334700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11792477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.756592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13334700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.640220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33998 KachelY 34163 0.11792477 -0.13334700 6.756592 -7.640220
    Oben rechts KachelX + 1 33999 KachelY 34163 0.11802065 -0.13334700 6.762085 -7.640220
    Unten links KachelX 33998 KachelY + 1 34164 0.11792477 -0.13344202 6.756592 -7.645665
    Unten rechts KachelX + 1 33999 KachelY + 1 34164 0.11802065 -0.13344202 6.762085 -7.645665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13334700--0.13344202) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13334700--0.13344202) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11792477-0.11802065) × cos(-0.13334700) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		do = 605.428618567525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11792477-0.11802065) × cos(-0.13344202) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991109817524472 × 6371000     		du = 605.420898877395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13334700)-sin(-0.13344202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991122455113777-0.991109817524472)×R²
    abs(0.11802065-0.11792477)×1.26375893053643e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.26375893053643e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.26375893053643e-05×40589641000000     		ar = 366507.451591522m²