Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33997 / 34213
↖ ↑ ↗
← S  7.912352°
E  6.751099°		 ← 604.97 m → S  7.912352°
E  6.756592°		 →
↑
604.99 m
↓
↑
604.99 m
↓
S  7.917793°
E  6.751099°		 ← 604.96 m →
366 000 m²		 S  7.917793°
E  6.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518760681152344 y=0.522056579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518760681152344 × 216)
    floor (0.518760681152344 × 65536)
    floor (33997.5)     		tx = 33997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522056579589844 × 216)
    floor (0.522056579589844 × 65536)
    floor (34213.5)     		ty = 34213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33997 / 34213 ti = "16/33997/34213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33997/34213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33997 ÷ 216
    33997 ÷ 65536     		x = 0.518753051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34213 ÷ 216
    34213 ÷ 65536     		y = 0.522048950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518753051757812 × 2 - 1) × π
    0.037506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11782890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522048950195312 × 2 - 1) × π
    -0.044097900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.138537639901962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11782890} λ = 0.11782890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138537639901962))-π/2
    2×atan(0.87063048020645)-π/2
    2×0.716349861869226-π/2
    1.43269972373845-1.57079632675     		φ = -0.13809660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11782890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.751099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13809660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.912352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33997 KachelY 34213 0.11782890 -0.13809660 6.751099 -7.912352
    Oben rechts KachelX + 1 33998 KachelY 34213 0.11792477 -0.13809660 6.756592 -7.912352
    Unten links KachelX 33997 KachelY + 1 34214 0.11782890 -0.13819156 6.751099 -7.917793
    Unten rechts KachelX + 1 33998 KachelY + 1 34214 0.11792477 -0.13819156 6.756592 -7.917793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13809660--0.13819156) × R
    9.49599999999773e-05 × 6371000     		dl = 604.990159999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13809660--0.13819156) × R
    9.49599999999773e-05 × 6371000     		dr = 604.990159999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11782890-0.11792477) × cos(-0.13809660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990479808674822 × 6371000     		do = 604.972953570508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11782890-0.11792477) × cos(-0.13819156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990466732197229 × 6371000     		du = 604.96496661792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13809660)-sin(-0.13819156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990479808674822-0.990466732197229)×R²
    abs(0.11792477-0.11782890)×1.30764775924108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.30764775924108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.30764775924108e-05×40589641000000     		ar = 366000.268237402m²