Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33997 / 23997
↖ ↑ ↗
← N 43.337165°
E  6.751099°		 ← 444.24 m → N 43.337165°
E  6.756592°		 →
↑
444.31 m
↓
↑
444.31 m
↓
N 43.333169°
E  6.751099°		 ← 444.27 m →
197 390 m²		 N 43.333169°
E  6.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518760681152344 y=0.366172790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518760681152344 × 216)
    floor (0.518760681152344 × 65536)
    floor (33997.5)     		tx = 33997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366172790527344 × 216)
    floor (0.366172790527344 × 65536)
    floor (23997.5)     		ty = 23997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33997 / 23997 ti = "16/33997/23997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33997/23997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33997 ÷ 216
    33997 ÷ 65536     		x = 0.518753051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23997 ÷ 216
    23997 ÷ 65536     		y = 0.366165161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518753051757812 × 2 - 1) × π
    0.037506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11782890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366165161132812 × 2 - 1) × π
    0.267669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.840909093135025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11782890} λ = 0.11782890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840909093135025))-π/2
    2×atan(2.31847372756913)-π/2
    2×1.16358627098759-π/2
    2.32717254197518-1.57079632675     		φ = 0.75637622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11782890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.751099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75637622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.337165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33997 KachelY 23997 0.11782890 0.75637622 6.751099 43.337165
    Oben rechts KachelX + 1 33998 KachelY 23997 0.11792477 0.75637622 6.756592 43.337165
    Unten links KachelX 33997 KachelY + 1 23998 0.11782890 0.75630648 6.751099 43.333169
    Unten rechts KachelX + 1 33998 KachelY + 1 23998 0.11792477 0.75630648 6.756592 43.333169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75637622-0.75630648) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dl = 444.313540000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75637622-0.75630648) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dr = 444.313540000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11782890-0.11792477) × cos(0.75637622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727327745842511 × 6371000     		do = 444.242891942264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11782890-0.11792477) × cos(0.75630648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		du = 444.272124315443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75637622)-sin(0.75630648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727327745842511-0.727375605957945)×R²
    abs(0.11792477-0.11782890)×4.78601154348945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78601154348945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78601154348945e-05×40589641000000     		ar = 197389.626188574m²