Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33996 / 34211
↖ ↑ ↗
← S  7.901471°
E  6.745606°		 ← 604.99 m → S  7.901471°
E  6.751099°		 →
↑
604.99 m
↓
↑
604.99 m
↓
S  7.906912°
E  6.745606°		 ← 604.98 m →
366 010 m²		 S  7.906912°
E  6.751099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518745422363281 y=0.522026062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518745422363281 × 216)
    floor (0.518745422363281 × 65536)
    floor (33996.5)     		tx = 33996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522026062011719 × 216)
    floor (0.522026062011719 × 65536)
    floor (34211.5)     		ty = 34211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33996 / 34211 ti = "16/33996/34211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33996/34211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33996 ÷ 216
    33996 ÷ 65536     		x = 0.51873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34211 ÷ 216
    34211 ÷ 65536     		y = 0.522018432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    0.0374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11773303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522018432617188 × 2 - 1) × π
    -0.044036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.138345892303482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11773303} λ = 0.11773303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138345892303482))-π/2
    2×atan(0.870797437516513)-π/2
    2×0.716444824184232-π/2
    1.43288964836846-1.57079632675     		φ = -0.13790668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11773303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13790668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.901471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33996 KachelY 34211 0.11773303 -0.13790668 6.745606 -7.901471
    Oben rechts KachelX + 1 33997 KachelY 34211 0.11782890 -0.13790668 6.751099 -7.901471
    Unten links KachelX 33996 KachelY + 1 34212 0.11773303 -0.13800164 6.745606 -7.906912
    Unten rechts KachelX + 1 33997 KachelY + 1 34212 0.11782890 -0.13800164 6.751099 -7.906912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13790668--0.13800164) × R
    9.4960000000005e-05 × 6371000     		dl = 604.990160000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13790668--0.13800164) × R
    9.4960000000005e-05 × 6371000     		dr = 604.990160000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11773303-0.11782890) × cos(-0.13790668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990505934835226 × 6371000     		do = 604.98891110976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11773303-0.11782890) × cos(-0.13800164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99049287622086 × 6371000     		du = 604.980935067812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13790668)-sin(-0.13800164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990505934835226-0.99049287622086)×R²
    abs(0.11782890-0.11773303)×1.30586143661793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.30586143661793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.30586143661793e-05×40589641000000     		ar = 366009.925692121m²