Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33994 / 34226
↖ ↑ ↗
← S  7.983078°
E  6.734619°		 ← 604.87 m → S  7.983078°
E  6.740112°		 →
↑
604.86 m
↓
↑
604.86 m
↓
S  7.988517°
E  6.734619°		 ← 604.86 m →
365 860 m²		 S  7.988517°
E  6.740112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518714904785156 y=0.522254943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518714904785156 × 216)
    floor (0.518714904785156 × 65536)
    floor (33994.5)     		tx = 33994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522254943847656 × 216)
    floor (0.522254943847656 × 65536)
    floor (34226.5)     		ty = 34226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33994 / 34226 ti = "16/33994/34226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33994/34226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33994 ÷ 216
    33994 ÷ 65536     		x = 0.518707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34226 ÷ 216
    34226 ÷ 65536     		y = 0.522247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518707275390625 × 2 - 1) × π
    0.03741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11754128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.04449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.139783999292084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11754128} λ = 0.11754128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139783999292084))-π/2
    2×atan(0.869546037675067)-π/2
    2×0.715732668069045-π/2
    1.43146533613809-1.57079632675     		φ = -0.13933099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11754128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13933099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.983078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33994 KachelY 34226 0.11754128 -0.13933099 6.734619 -7.983078
    Oben rechts KachelX + 1 33995 KachelY 34226 0.11763715 -0.13933099 6.740112 -7.983078
    Unten links KachelX 33994 KachelY + 1 34227 0.11754128 -0.13942593 6.734619 -7.988517
    Unten rechts KachelX + 1 33995 KachelY + 1 34227 0.11763715 -0.13942593 6.740112 -7.988517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13933099--0.13942593) × R
    9.49400000000156e-05 × 6371000     		dl = 604.862740000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13933099--0.13942593) × R
    9.49400000000156e-05 × 6371000     		dr = 604.862740000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11754128-0.11763715) × cos(-0.13933099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990309130347154 × 6371000     		do = 604.868705335364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11754128-0.11763715) × cos(-0.13942593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990295940558073 × 6371000     		du = 604.860649173505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13933099)-sin(-0.13942593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990309130347154-0.990295940558073)×R²
    abs(0.11763715-0.11754128)×1.31897890809363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31897890809363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31897890809363e-05×40589641000000     		ar = 365860.106288145m²