Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33993 / 34610
↖ ↑ ↗
← S 10.066220°
E  6.729126°		 ← 601.45 m → S 10.066220°
E  6.734619°		 →
↑
601.42 m
↓
↑
601.42 m
↓
S 10.071629°
E  6.729126°		 ← 601.44 m →
361 721 m²		 S 10.071629°
E  6.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518699645996094 y=0.528114318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518699645996094 × 216)
    floor (0.518699645996094 × 65536)
    floor (33993.5)     		tx = 33993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528114318847656 × 216)
    floor (0.528114318847656 × 65536)
    floor (34610.5)     		ty = 34610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33993 / 34610 ti = "16/33993/34610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33993/34610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33993 ÷ 216
    33993 ÷ 65536     		x = 0.518692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34610 ÷ 216
    34610 ÷ 65536     		y = 0.528106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518692016601562 × 2 - 1) × π
    0.037384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11744540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.05621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.176599538200287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11744540} λ = 0.11744540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176599538200287))-π/2
    2×atan(0.838115350509462)-π/2
    2×0.697553821178753-π/2
    1.39510764235751-1.57079632675     		φ = -0.17568868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11744540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17568868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.066220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33993 KachelY 34610 0.11744540 -0.17568868 6.729126 -10.066220
    Oben rechts KachelX + 1 33994 KachelY 34610 0.11754128 -0.17568868 6.734619 -10.066220
    Unten links KachelX 33993 KachelY + 1 34611 0.11744540 -0.17578308 6.729126 -10.071629
    Unten rechts KachelX + 1 33994 KachelY + 1 34611 0.11754128 -0.17578308 6.734619 -10.071629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17568868--0.17578308) × R
    9.43999999999945e-05 × 6371000     		dl = 601.422399999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17568868--0.17578308) × R
    9.43999999999945e-05 × 6371000     		dr = 601.422399999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11744540-0.11754128) × cos(-0.17568868) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984606400604101 × 6371000     		do = 601.448277026442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11744540-0.11754128) × cos(-0.17578308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984589896394305 × 6371000     		du = 601.438195405462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17568868)-sin(-0.17578308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984606400604101-0.984589896394305)×R²
    abs(0.11754128-0.11744540)×1.65042097958201e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.65042097958201e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.65042097958201e-05×40589641000000     		ar = 361721.434857359m²