Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33991 / 34750
↖ ↑ ↗
← S 10.822515°
E  6.718140°		 ← 599.92 m → S 10.822515°
E  6.723633°		 →
↑
599.96 m
↓
↑
599.96 m
↓
S 10.827911°
E  6.718140°		 ← 599.91 m →
359 925 m²		 S 10.827911°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518669128417969 y=0.530250549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518669128417969 × 216)
    floor (0.518669128417969 × 65536)
    floor (33991.5)     		tx = 33991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530250549316406 × 216)
    floor (0.530250549316406 × 65536)
    floor (34750.5)     		ty = 34750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33991 / 34750 ti = "16/33991/34750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33991/34750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33991 ÷ 216
    33991 ÷ 65536     		x = 0.518661499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34750 ÷ 216
    34750 ÷ 65536     		y = 0.530242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518661499023438 × 2 - 1) × π
    0.037322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11725366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.06048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.190021870093903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11725366} λ = 0.11725366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190021870093903))-π/2
    2×atan(0.826941048467216)-π/2
    2×0.690953901102875-π/2
    1.38190780220575-1.57079632675     		φ = -0.18888852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11725366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.718140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18888852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.822515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33991 KachelY 34750 0.11725366 -0.18888852 6.718140 -10.822515
    Oben rechts KachelX + 1 33992 KachelY 34750 0.11734953 -0.18888852 6.723633 -10.822515
    Unten links KachelX 33991 KachelY + 1 34751 0.11725366 -0.18898269 6.718140 -10.827911
    Unten rechts KachelX + 1 33992 KachelY + 1 34751 0.11734953 -0.18898269 6.723633 -10.827911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18888852--0.18898269) × R
    9.41700000000045e-05 × 6371000     		dl = 599.957070000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18888852--0.18898269) × R
    9.41700000000045e-05 × 6371000     		dr = 599.957070000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11725366-0.11734953) × cos(-0.18888852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98221354138068 × 6371000     		do = 599.924018603695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11725366-0.11734953) × cos(-0.18898269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98219585497889 × 6371000     		du = 599.913215965787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18888852)-sin(-0.18898269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98221354138068-0.98219585497889)×R²
    abs(0.11734953-0.11725366)×1.76864017891187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76864017891187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76864017891187e-05×40589641000000     		ar = 359925.416130648m²