Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33991 / 23973
↖ ↑ ↗
← N 43.432977°
E  6.718140°		 ← 443.54 m → N 43.432977°
E  6.723633°		 →
↑
443.55 m
↓
↑
443.55 m
↓
N 43.428988°
E  6.718140°		 ← 443.57 m →
196 739 m²		 N 43.428988°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518669128417969 y=0.365806579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518669128417969 × 216)
    floor (0.518669128417969 × 65536)
    floor (33991.5)     		tx = 33991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365806579589844 × 216)
    floor (0.365806579589844 × 65536)
    floor (23973.5)     		ty = 23973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33991 / 23973 ti = "16/33991/23973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33991/23973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33991 ÷ 216
    33991 ÷ 65536     		x = 0.518661499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23973 ÷ 216
    23973 ÷ 65536     		y = 0.365798950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518661499023438 × 2 - 1) × π
    0.037322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11725366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365798950195312 × 2 - 1) × π
    0.268402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.843210064316788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11725366} λ = 0.11725366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843210064316788))-π/2
    2×atan(2.323814611055)-π/2
    2×1.16442239034662-π/2
    2.32884478069325-1.57079632675     		φ = 0.75804845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11725366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.718140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75804845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.432977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33991 KachelY 23973 0.11725366 0.75804845 6.718140 43.432977
    Oben rechts KachelX + 1 33992 KachelY 23973 0.11734953 0.75804845 6.723633 43.432977
    Unten links KachelX 33991 KachelY + 1 23974 0.11725366 0.75797883 6.718140 43.428988
    Unten rechts KachelX + 1 33992 KachelY + 1 23974 0.11734953 0.75797883 6.723633 43.428988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75804845-0.75797883) × R
    6.96199999999925e-05 × 6371000     		dl = 443.549019999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75804845-0.75797883) × R
    6.96199999999925e-05 × 6371000     		dr = 443.549019999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11725366-0.11734953) × cos(0.75804845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726179094247986 × 6371000     		do = 443.541309596338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11725366-0.11734953) × cos(0.75797883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72622695662658 × 6371000     		du = 443.570543351826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75804845)-sin(0.75797883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726179094247986-0.72622695662658)×R²
    abs(0.11734953-0.11725366)×4.7862378593666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7862378593666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7862378593666e-05×40589641000000     		ar = 196738.7965819m²