Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33990 / 34761
↖ ↑ ↗
← S 10.881860°
E  6.712646°		 ← 599.87 m → S 10.881860°
E  6.718140°		 →
↑
599.77 m
↓
↑
599.77 m
↓
S 10.887253°
E  6.712646°		 ← 599.86 m →
359 777 m²		 S 10.887253°
E  6.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518653869628906 y=0.530418395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518653869628906 × 216)
    floor (0.518653869628906 × 65536)
    floor (33990.5)     		tx = 33990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530418395996094 × 216)
    floor (0.530418395996094 × 65536)
    floor (34761.5)     		ty = 34761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33990 / 34761 ti = "16/33990/34761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33990/34761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33990 ÷ 216
    33990 ÷ 65536     		x = 0.518646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34761 ÷ 216
    34761 ÷ 65536     		y = 0.530410766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518646240234375 × 2 - 1) × π
    0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530410766601562 × 2 - 1) × π
    -0.060821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.191076481885544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11715778} λ = 0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191076481885544))-π/2
    2×atan(0.826069406389304)-π/2
    2×0.690436025481589-π/2
    1.38087205096318-1.57079632675     		φ = -0.18992428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18992428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.881860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33990 KachelY 34761 0.11715778 -0.18992428 6.712646 -10.881860
    Oben rechts KachelX + 1 33991 KachelY 34761 0.11725366 -0.18992428 6.718140 -10.881860
    Unten links KachelX 33990 KachelY + 1 34762 0.11715778 -0.19001842 6.712646 -10.887253
    Unten rechts KachelX + 1 33991 KachelY + 1 34762 0.11725366 -0.19001842 6.718140 -10.887253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18992428--0.19001842) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dl = 599.765939999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18992428--0.19001842) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dr = 599.765939999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11715778-0.11725366) × cos(-0.18992428) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.982018532697615 × 6371000     		do = 599.86747408572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11715778-0.11725366) × cos(-0.19001842) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98200075616983 × 6371000     		du = 599.856615267414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18992428)-sin(-0.19001842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982018532697615-0.98200075616983)×R²
    abs(0.11725366-0.11715778)×1.77765277847852e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.77765277847852e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.77765277847852e-05×40589641000000     		ar = 359776.823361492m²