Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33990 / 34748
↖ ↑ ↗
← S 10.811724°
E  6.712646°		 ← 600.01 m → S 10.811724°
E  6.718140°		 →
↑
600.02 m
↓
↑
600.02 m
↓
S 10.817120°
E  6.712646°		 ← 600 m →
360 014 m²		 S 10.817120°
E  6.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518653869628906 y=0.530220031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518653869628906 × 216)
    floor (0.518653869628906 × 65536)
    floor (33990.5)     		tx = 33990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530220031738281 × 216)
    floor (0.530220031738281 × 65536)
    floor (34748.5)     		ty = 34748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33990 / 34748 ti = "16/33990/34748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33990/34748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33990 ÷ 216
    33990 ÷ 65536     		x = 0.518646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34748 ÷ 216
    34748 ÷ 65536     		y = 0.53021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518646240234375 × 2 - 1) × π
    0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11715778} λ = 0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189830122495422))-π/2
    2×atan(0.827099627630445)-π/2
    2×0.691048071341352-π/2
    1.3820961426827-1.57079632675     		φ = -0.18870018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18870018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.811724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33990 KachelY 34748 0.11715778 -0.18870018 6.712646 -10.811724
    Oben rechts KachelX + 1 33991 KachelY 34748 0.11725366 -0.18870018 6.718140 -10.811724
    Unten links KachelX 33990 KachelY + 1 34749 0.11715778 -0.18879436 6.712646 -10.817120
    Unten rechts KachelX + 1 33991 KachelY + 1 34749 0.11725366 -0.18879436 6.718140 -10.817120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18870018--0.18879436) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dl = 600.020779999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18870018--0.18879436) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dr = 600.020779999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11715778-0.11725366) × cos(-0.18870018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.982248888053325 × 6371000     		do = 600.008186995682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11715778-0.11725366) × cos(-0.18879436) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.982231217195462 × 6371000     		du = 599.997392726003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18870018)-sin(-0.18879436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982248888053325-0.982231217195462)×R²
    abs(0.11725366-0.11715778)×1.76708578629725e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.76708578629725e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.76708578629725e-05×40589641000000     		ar = 360014.14224052m²