Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33990 / 34514
↖ ↑ ↗
← S  9.546583°
E  6.712646°		 ← 602.39 m → S  9.546583°
E  6.718140°		 →
↑
602.38 m
↓
↑
602.38 m
↓
S  9.552001°
E  6.712646°		 ← 602.38 m →
362 865 m²		 S  9.552001°
E  6.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518653869628906 y=0.526649475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518653869628906 × 216)
    floor (0.518653869628906 × 65536)
    floor (33990.5)     		tx = 33990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526649475097656 × 216)
    floor (0.526649475097656 × 65536)
    floor (34514.5)     		ty = 34514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33990 / 34514 ti = "16/33990/34514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33990/34514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33990 ÷ 216
    33990 ÷ 65536     		x = 0.518646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34514 ÷ 216
    34514 ÷ 65536     		y = 0.526641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518646240234375 × 2 - 1) × π
    0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.05328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.167395653473236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11715778} λ = 0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167395653473236))-π/2
    2×atan(0.845864875745928)-π/2
    2×0.702088507515138-π/2
    1.40417701503028-1.57079632675     		φ = -0.16661931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16661931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.546583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33990 KachelY 34514 0.11715778 -0.16661931 6.712646 -9.546583
    Oben rechts KachelX + 1 33991 KachelY 34514 0.11725366 -0.16661931 6.718140 -9.546583
    Unten links KachelX 33990 KachelY + 1 34515 0.11715778 -0.16671386 6.712646 -9.552001
    Unten rechts KachelX + 1 33991 KachelY + 1 34515 0.11725366 -0.16671386 6.718140 -9.552001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16661931--0.16671386) × R
    9.45499999999988e-05 × 6371000     		dl = 602.378049999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16661931--0.16671386) × R
    9.45499999999988e-05 × 6371000     		dr = 602.378049999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11715778-0.11725366) × cos(-0.16661931) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98615108674499 × 6371000     		do = 602.39185084174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11715778-0.11725366) × cos(-0.16671386) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.986135401273265 × 6371000     		du = 602.382269348121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16661931)-sin(-0.16671386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98615108674499-0.986135401273265)×R²
    abs(0.11725366-0.11715778)×1.56854717257016e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.56854717257016e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.56854717257016e-05×40589641000000     		ar = 362864.742875465m²