Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3399 / 957
↖ ↑ ↗
← N 79.710759°
W 30.629883°		 ← 872.81 m → N 79.710759°
W 30.585937°		 →
↑
873.15 m
↓
↑
873.15 m
↓
N 79.702906°
W 30.629883°		 ← 873.47 m →
762 380 m²		 N 79.702906°
W 30.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41497802734375 y=0.11688232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41497802734375 × 213)
    floor (0.41497802734375 × 8192)
    floor (3399.5)     		tx = 3399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11688232421875 × 213)
    floor (0.11688232421875 × 8192)
    floor (957.5)     		ty = 957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3399 / 957 ti = "13/3399/957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3399/957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3399 ÷ 213
    3399 ÷ 8192     		x = 0.4149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 957 ÷ 213
    957 ÷ 8192     		y = 0.1168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53459230} λ = -0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4075828465177))-π/2
    2×atan(11.1070811517339)-π/2
    2×1.48100576056108-π/2
    2.96201152112216-1.57079632675     		φ = 1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3399 KachelY 957 -0.53459230 1.39121519 -30.629883 79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 3400 KachelY 957 -0.53382531 1.39121519 -30.585937 79.710759
    Unten links KachelX 3399 KachelY + 1 958 -0.53459230 1.39107814 -30.629883 79.702906
    Unten rechts KachelX + 1 3400 KachelY + 1 958 -0.53382531 1.39107814 -30.585937 79.702906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39121519-1.39107814) × R
    0.000137049999999972 × 6371000     		dl = 873.145549999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39121519-1.39107814) × R
    0.000137049999999972 × 6371000     		dr = 873.145549999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53459230--0.53382531) × cos(1.39121519) × R
    0.000766990000000023 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 872.813028613117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53459230--0.53382531) × cos(1.39107814) × R
    0.000766990000000023 × 0.178752306175962 × 6371000     		du = 873.471944700892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39121519)-sin(1.39107814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178752306175962)×R²
    abs(-0.53382531--0.53459230)×0.000134844365615477×R²
    0.000766990000000023×0.000134844365615477×6371000²
    0.000766990000000023×0.000134844365615477×40589641000000     		ar = 762380.477936339m²