Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3399 / 3914
↖ ↑ ↗
← N 79.540621°
W142.657471°		 ← 221.77 m → N 79.540621°
W142.646484°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 79.538626°
W142.657471°		 ← 221.82 m →
49 189 m²		 N 79.538626°
W142.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103744506835938 y=0.119461059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103744506835938 × 215)
    floor (0.103744506835938 × 32768)
    floor (3399.5)     		tx = 3399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119461059570312 × 215)
    floor (0.119461059570312 × 32768)
    floor (3914.5)     		ty = 3914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3399 / 3914 ti = "15/3399/3914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3399/3914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3399 ÷ 215
    3399 ÷ 32768     		x = 0.103729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3914 ÷ 215
    3914 ÷ 32768     		y = 0.11944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.79254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48984257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11944580078125 × 2 - 1) × π
    0.7611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3910925530484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48984257} λ = -2.48984257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3910925530484))-π/2
    2×atan(10.9254240300579)-π/2
    2×1.47952102313018-π/2
    2.95904204626037-1.57079632675     		φ = 1.38824572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48984257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38824572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.540621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3399 KachelY 3914 -2.48984257 1.38824572 -142.657471 79.540621
    Oben rechts KachelX + 1 3400 KachelY 3914 -2.48965082 1.38824572 -142.646484 79.540621
    Unten links KachelX 3399 KachelY + 1 3915 -2.48984257 1.38821091 -142.657471 79.538626
    Unten rechts KachelX + 1 3400 KachelY + 1 3915 -2.48965082 1.38821091 -142.646484 79.538626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38824572-1.38821091) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38824572-1.38821091) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48984257--2.48965082) × cos(1.38824572) × R
    0.000191749999999935 × 0.181538386766277 × 6371000     		do = 221.774418655289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48984257--2.48965082) × cos(1.38821091) × R
    0.000191749999999935 × 0.181572618248413 × 6371000     		du = 221.816237177452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38824572)-sin(1.38821091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181538386766277-0.181572618248413)×R²
    abs(-2.48965082--2.48984257)×3.42314821364098e-05×R²
    0.000191749999999935×3.42314821364098e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.42314821364098e-05×40589641000000     		ar = 49188.5501739257m²