Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33988 / 23988
↖ ↑ ↗
← N 43.373112°
E  6.701660°		 ← 443.98 m → N 43.373112°
E  6.707153°		 →
↑
443.99 m
↓
↑
443.99 m
↓
N 43.369119°
E  6.701660°		 ← 444.01 m →
197 131 m²		 N 43.369119°
E  6.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518623352050781 y=0.366035461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518623352050781 × 216)
    floor (0.518623352050781 × 65536)
    floor (33988.5)     		tx = 33988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366035461425781 × 216)
    floor (0.366035461425781 × 65536)
    floor (23988.5)     		ty = 23988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33988 / 23988 ti = "16/33988/23988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33988/23988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33988 ÷ 216
    33988 ÷ 65536     		x = 0.51861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23988 ÷ 216
    23988 ÷ 65536     		y = 0.36602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51861572265625 × 2 - 1) × π
    0.0372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11696604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36602783203125 × 2 - 1) × π
    0.2679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.841771957328186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11696604} λ = 0.11696604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841771957328186))-π/2
    2×atan(2.3204751188717)-π/2
    2×1.16389997061097-π/2
    2.32779994122194-1.57079632675     		φ = 0.75700361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11696604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75700361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.373112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33988 KachelY 23988 0.11696604 0.75700361 6.701660 43.373112
    Oben rechts KachelX + 1 33989 KachelY 23988 0.11706191 0.75700361 6.707153 43.373112
    Unten links KachelX 33988 KachelY + 1 23989 0.11696604 0.75693392 6.701660 43.369119
    Unten rechts KachelX + 1 33989 KachelY + 1 23989 0.11706191 0.75693392 6.707153 43.369119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75700361-0.75693392) × R
    6.96900000000111e-05 × 6371000     		dl = 443.994990000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75700361-0.75693392) × R
    6.96900000000111e-05 × 6371000     		dr = 443.994990000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11696604-0.11706191) × cos(0.75700361) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.72689703106649 × 6371000     		do = 443.979816624777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11696604-0.11706191) × cos(0.75693392) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.726944888662389 × 6371000     		du = 444.009047459054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75700361)-sin(0.75693392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72689703106649-0.726944888662389)×R²
    abs(0.11706191-0.11696604)×4.78575958992034e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.78575958992034e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.78575958992034e-05×40589641000000     		ar = 197131.303494172m²