Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33987 / 36421
↖ ↑ ↗
← S 19.668453°
E  6.696167°		 ← 575.21 m → S 19.668453°
E  6.701660°		 →
↑
575.17 m
↓
↑
575.17 m
↓
S 19.673625°
E  6.696167°		 ← 575.19 m →
330 842 m²		 S 19.673625°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518608093261719 y=0.555747985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518608093261719 × 216)
    floor (0.518608093261719 × 65536)
    floor (33987.5)     		tx = 33987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555747985839844 × 216)
    floor (0.555747985839844 × 65536)
    floor (36421.5)     		ty = 36421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33987 / 36421 ti = "16/33987/36421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33987/36421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33987 ÷ 216
    33987 ÷ 65536     		x = 0.518600463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36421 ÷ 216
    36421 ÷ 65536     		y = 0.555740356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518600463867188 × 2 - 1) × π
    0.037200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11687016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555740356445312 × 2 - 1) × π
    -0.111480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.35022698862413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11687016} λ = 0.11687016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35022698862413))-π/2
    2×atan(0.70452815169153)-π/2
    2×0.61375853181391-π/2
    1.22751706362782-1.57079632675     		φ = -0.34327926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11687016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34327926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.668453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33987 KachelY 36421 0.11687016 -0.34327926 6.696167 -19.668453
    Oben rechts KachelX + 1 33988 KachelY 36421 0.11696604 -0.34327926 6.701660 -19.668453
    Unten links KachelX 33987 KachelY + 1 36422 0.11687016 -0.34336954 6.696167 -19.673625
    Unten rechts KachelX + 1 33988 KachelY + 1 36422 0.11696604 -0.34336954 6.701660 -19.673625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34327926--0.34336954) × R
    9.02799999999981e-05 × 6371000     		dl = 575.173879999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34327926--0.34336954) × R
    9.02799999999981e-05 × 6371000     		dr = 575.173879999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11687016-0.11696604) × cos(-0.34327926) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.94165600763321 × 6371000     		do = 575.211965913593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11687016-0.11696604) × cos(-0.34336954) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941625617639459 × 6371000     		du = 575.193402140933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34327926)-sin(-0.34336954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94165600763321-0.941625617639459)×R²
    abs(0.11696604-0.11687016)×3.03899937512675e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.03899937512675e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.03899937512675e-05×40589641000000     		ar = 330841.55978293m²