Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33987 / 24000
↖ ↑ ↗
← N 43.325178°
E  6.696167°		 ← 444.38 m → N 43.325178°
E  6.701660°		 →
↑
444.38 m
↓
↑
444.38 m
↓
N 43.321181°
E  6.696167°		 ← 444.41 m →
197 477 m²		 N 43.321181°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518608093261719 y=0.366218566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518608093261719 × 216)
    floor (0.518608093261719 × 65536)
    floor (33987.5)     		tx = 33987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366218566894531 × 216)
    floor (0.366218566894531 × 65536)
    floor (24000.5)     		ty = 24000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33987 / 24000 ti = "16/33987/24000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33987/24000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33987 ÷ 216
    33987 ÷ 65536     		x = 0.518600463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24000 ÷ 216
    24000 ÷ 65536     		y = 0.3662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518600463867188 × 2 - 1) × π
    0.037200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11687016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3662109375 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11687016} λ = 0.11687016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840621471737305))-π/2
    2×atan(2.31780698080494)-π/2
    2×1.16348166315243-π/2
    2.32696332630485-1.57079632675     		φ = 0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11687016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33987 KachelY 24000 0.11687016 0.75616700 6.696167 43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 33988 KachelY 24000 0.11696604 0.75616700 6.701660 43.325178
    Unten links KachelX 33987 KachelY + 1 24001 0.11687016 0.75609725 6.696167 43.321181
    Unten rechts KachelX + 1 33988 KachelY + 1 24001 0.11696604 0.75609725 6.701660 43.321181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75616700-0.75609725) × R
    6.97499999999796e-05 × 6371000     		dl = 444.37724999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75616700-0.75609725) × R
    6.97499999999796e-05 × 6371000     		dr = 444.37724999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11687016-0.11696604) × cos(0.75616700) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 444.376929776772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11687016-0.11696604) × cos(0.75609725) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.727519171937914 × 6371000     		du = 444.406162906615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75616700)-sin(0.75609725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.727519171937914)×R²
    abs(0.11696604-0.11687016)×4.78563624706219e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78563624706219e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78563624706219e-05×40589641000000     		ar = 197477.493366439m²