Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33987 / 23971
↖ ↑ ↗
← N 43.440955°
E  6.696167°		 ← 443.53 m → N 43.440955°
E  6.701660°		 →
↑
443.55 m
↓
↑
443.55 m
↓
N 43.436966°
E  6.696167°		 ← 443.56 m →
196 733 m²		 N 43.436966°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518608093261719 y=0.365776062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518608093261719 × 216)
    floor (0.518608093261719 × 65536)
    floor (33987.5)     		tx = 33987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365776062011719 × 216)
    floor (0.365776062011719 × 65536)
    floor (23971.5)     		ty = 23971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33987 / 23971 ti = "16/33987/23971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33987/23971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33987 ÷ 216
    33987 ÷ 65536     		x = 0.518600463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23971 ÷ 216
    23971 ÷ 65536     		y = 0.365768432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518600463867188 × 2 - 1) × π
    0.037200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11687016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365768432617188 × 2 - 1) × π
    0.268463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.843401811915268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11687016} λ = 0.11687016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843401811915268))-π/2
    2×atan(2.32426023964873)-π/2
    2×1.16449200730602-π/2
    2.32898401461204-1.57079632675     		φ = 0.75818769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11687016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75818769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.440955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33987 KachelY 23971 0.11687016 0.75818769 6.696167 43.440955
    Oben rechts KachelX + 1 33988 KachelY 23971 0.11696604 0.75818769 6.701660 43.440955
    Unten links KachelX 33987 KachelY + 1 23972 0.11687016 0.75811807 6.696167 43.436966
    Unten rechts KachelX + 1 33988 KachelY + 1 23972 0.11696604 0.75811807 6.701660 43.436966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75818769-0.75811807) × R
    6.96199999999925e-05 × 6371000     		dl = 443.549019999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75818769-0.75811807) × R
    6.96199999999925e-05 × 6371000     		dr = 443.549019999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11687016-0.11696604) × cos(0.75818769) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.726083358931782 × 6371000     		do = 443.529094406816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11687016-0.11696604) × cos(0.75811807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.726131228349643 × 6371000     		du = 443.558335511563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75818769)-sin(0.75811807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726083358931782-0.726131228349643)×R²
    abs(0.11696604-0.11687016)×4.78694178610573e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78694178610573e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78694178610573e-05×40589641000000     		ar = 196733.380176891m²