Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33985 / 34760
↖ ↑ ↗
← S 10.876465°
E  6.685180°		 ← 599.88 m → S 10.876465°
E  6.690674°		 →
↑
599.83 m
↓
↑
599.83 m
↓
S 10.881860°
E  6.685180°		 ← 599.87 m →
359 822 m²		 S 10.881860°
E  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518577575683594 y=0.530403137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518577575683594 × 216)
    floor (0.518577575683594 × 65536)
    floor (33985.5)     		tx = 33985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530403137207031 × 216)
    floor (0.530403137207031 × 65536)
    floor (34760.5)     		ty = 34760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33985 / 34760 ti = "16/33985/34760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33985/34760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33985 ÷ 216
    33985 ÷ 65536     		x = 0.518569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34760 ÷ 216
    34760 ÷ 65536     		y = 0.5303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518569946289062 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.190980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11667841} λ = 0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190980608086304))-π/2
    2×atan(0.826148608598378)-π/2
    2×0.690483100831402-π/2
    1.3809662016628-1.57079632675     		φ = -0.18983013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18983013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.876465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33985 KachelY 34760 0.11667841 -0.18983013 6.685180 -10.876465
    Oben rechts KachelX + 1 33986 KachelY 34760 0.11677429 -0.18983013 6.690674 -10.876465
    Unten links KachelX 33985 KachelY + 1 34761 0.11667841 -0.18992428 6.685180 -10.881860
    Unten rechts KachelX + 1 33986 KachelY + 1 34761 0.11677429 -0.18992428 6.690674 -10.881860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18983013--0.18992428) × R
    9.41499999999873e-05 × 6371000     		dl = 599.829649999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18983013--0.18992428) × R
    9.41499999999873e-05 × 6371000     		dr = 599.829649999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(-0.18983013) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.982036302409338 × 6371000     		do = 599.878328740513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(-0.18992428) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.982018532697615 × 6371000     		du = 599.867474085807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18983013)-sin(-0.18992428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982036302409338-0.982018532697615)×R²
    abs(0.11677429-0.11667841)×1.77697117238473e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.77697117238473e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.77697117238473e-05×40589641000000     		ar = 359821.552764785m²