Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33985 / 34755
↖ ↑ ↗
← S 10.849492°
E  6.685180°		 ← 599.93 m → S 10.849492°
E  6.690674°		 →
↑
599.89 m
↓
↑
599.89 m
↓
S 10.854887°
E  6.685180°		 ← 599.92 m →
359 892 m²		 S 10.854887°
E  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518577575683594 y=0.530326843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518577575683594 × 216)
    floor (0.518577575683594 × 65536)
    floor (33985.5)     		tx = 33985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530326843261719 × 216)
    floor (0.530326843261719 × 65536)
    floor (34755.5)     		ty = 34755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33985 / 34755 ti = "16/33985/34755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33985/34755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33985 ÷ 216
    33985 ÷ 65536     		x = 0.518569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34755 ÷ 216
    34755 ÷ 65536     		y = 0.530319213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518569946289062 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.060638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.190501239090103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11667841} λ = 0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190501239090103))-π/2
    2×atan(0.826544733565023)-π/2
    2×0.690718490346886-π/2
    1.38143698069377-1.57079632675     		φ = -0.18935935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18935935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.849492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33985 KachelY 34755 0.11667841 -0.18935935 6.685180 -10.849492
    Oben rechts KachelX + 1 33986 KachelY 34755 0.11677429 -0.18935935 6.690674 -10.849492
    Unten links KachelX 33985 KachelY + 1 34756 0.11667841 -0.18945351 6.685180 -10.854887
    Unten rechts KachelX + 1 33986 KachelY + 1 34756 0.11677429 -0.18945351 6.690674 -10.854887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18935935--0.18945351) × R
    9.4159999999982e-05 × 6371000     		dl = 599.893359999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18935935--0.18945351) × R
    9.4159999999982e-05 × 6371000     		dr = 599.893359999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(-0.18935935) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.982125026036879 × 6371000     		do = 599.932525699707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(-0.18945351) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.982107297971222 × 6371000     		du = 599.921696484563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18935935)-sin(-0.18945351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982125026036879-0.982107297971222)×R²
    abs(0.11677429-0.11667841)×1.7728065656919e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.7728065656919e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.7728065656919e-05×40589641000000     		ar = 359892.290693937m²