Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33985 / 23993
↖ ↑ ↗
← N 43.353144°
E  6.685180°		 ← 444.17 m → N 43.353144°
E  6.690674°		 →
↑
444.19 m
↓
↑
444.19 m
↓
N 43.349150°
E  6.685180°		 ← 444.20 m →
197 302 m²		 N 43.349150°
E  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518577575683594 y=0.366111755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518577575683594 × 216)
    floor (0.518577575683594 × 65536)
    floor (33985.5)     		tx = 33985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366111755371094 × 216)
    floor (0.366111755371094 × 65536)
    floor (23993.5)     		ty = 23993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33985 / 23993 ti = "16/33985/23993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33985/23993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33985 ÷ 216
    33985 ÷ 65536     		x = 0.518569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23993 ÷ 216
    23993 ÷ 65536     		y = 0.366104125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518569946289062 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366104125976562 × 2 - 1) × π
    0.267791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.841292588331986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11667841} λ = 0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841292588331986))-π/2
    2×atan(2.31936302161703)-π/2
    2×1.16372571598399-π/2
    2.32745143196798-1.57079632675     		φ = 0.75665511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75665511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.353144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33985 KachelY 23993 0.11667841 0.75665511 6.685180 43.353144
    Oben rechts KachelX + 1 33986 KachelY 23993 0.11677429 0.75665511 6.690674 43.353144
    Unten links KachelX 33985 KachelY + 1 23994 0.11667841 0.75658539 6.685180 43.349150
    Unten rechts KachelX + 1 33986 KachelY + 1 23994 0.11677429 0.75658539 6.690674 43.349150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75665511-0.75658539) × R
    6.97199999999398e-05 × 6371000     		dl = 444.186119999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75665511-0.75658539) × R
    6.97199999999398e-05 × 6371000     		dr = 444.186119999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(0.75665511) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.727136318062814 × 6371000     		do = 444.172296050451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(0.75658539) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.727184178594376 × 6371000     		du = 444.201531726989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75665511)-sin(0.75658539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727136318062814-0.727184178594376)×R²
    abs(0.11677429-0.11667841)×4.78605315618053e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.78605315618053e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.78605315618053e-05×40589641000000     		ar = 197301.661914734m²