Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33984 / 23872
↖ ↑ ↗
← N 43.834527°
E  6.679688°		 ← 440.59 m → N 43.834527°
E  6.685180°		 →
↑
440.62 m
↓
↑
440.62 m
↓
N 43.830564°
E  6.679688°		 ← 440.62 m →
194 137 m²		 N 43.830564°
E  6.685180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518562316894531 y=0.364265441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518562316894531 × 216)
    floor (0.518562316894531 × 65536)
    floor (33984.5)     		tx = 33984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364265441894531 × 216)
    floor (0.364265441894531 × 65536)
    floor (23872.5)     		ty = 23872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33984 / 23872 ti = "16/33984/23872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33984/23872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33984 ÷ 216
    33984 ÷ 65536     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23872 ÷ 216
    23872 ÷ 65536     		y = 0.3642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852893318040039))-π/2
    2×atan(2.34642599675182)-π/2
    2×1.16792657259049-π/2
    2.33585314518098-1.57079632675     		φ = 0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33984 KachelY 23872 0.11658254 0.76505682 6.679688 43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 33985 KachelY 23872 0.11667841 0.76505682 6.685180 43.834527
    Unten links KachelX 33984 KachelY + 1 23873 0.11658254 0.76498766 6.679688 43.830564
    Unten rechts KachelX + 1 33985 KachelY + 1 23873 0.11667841 0.76498766 6.685180 43.830564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76505682-0.76498766) × R
    6.91600000000125e-05 × 6371000     		dl = 440.61836000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76505682-0.76498766) × R
    6.91600000000125e-05 × 6371000     		dr = 440.61836000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11667841) × cos(0.76505682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 440.587486235202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11667841) × cos(0.76498766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721390903288244 × 6371000     		du = 440.616741117703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76505682)-sin(0.76498766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.721390903288244)×R²
    abs(0.11667841-0.11658254)×4.78969683707087e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78969683707087e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78969683707087e-05×40589641000000     		ar = 194137.380818269m²