Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33982 / 34349
↖ ↑ ↗
← S  8.651627°
E  6.668701°		 ← 603.90 m → S  8.651627°
E  6.674195°		 →
↑
603.84 m
↓
↑
603.84 m
↓
S  8.657057°
E  6.668701°		 ← 603.89 m →
364 659 m²		 S  8.657057°
E  6.674195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518531799316406 y=0.524131774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518531799316406 × 216)
    floor (0.518531799316406 × 65536)
    floor (33982.5)     		tx = 33982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524131774902344 × 216)
    floor (0.524131774902344 × 65536)
    floor (34349.5)     		ty = 34349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33982 / 34349 ti = "16/33982/34349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33982/34349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33982 ÷ 216
    33982 ÷ 65536     		x = 0.518524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34349 ÷ 216
    34349 ÷ 65536     		y = 0.524124145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518524169921875 × 2 - 1) × π
    0.03704833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11639079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524124145507812 × 2 - 1) × π
    -0.048248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.151576476598618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11639079} λ = 0.11639079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151576476598618))-π/2
    2×atan(0.859352159429661)-π/2
    2×0.709898480416567-π/2
    1.41979696083313-1.57079632675     		φ = -0.15099937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11639079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.668701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15099937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.651627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33982 KachelY 34349 0.11639079 -0.15099937 6.668701 -8.651627
    Oben rechts KachelX + 1 33983 KachelY 34349 0.11648667 -0.15099937 6.674195 -8.651627
    Unten links KachelX 33982 KachelY + 1 34350 0.11639079 -0.15109415 6.668701 -8.657057
    Unten rechts KachelX + 1 33983 KachelY + 1 34350 0.11648667 -0.15109415 6.674195 -8.657057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15099937--0.15109415) × R
    9.47800000000165e-05 × 6371000     		dl = 603.843380000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15099937--0.15109415) × R
    9.47800000000165e-05 × 6371000     		dr = 603.843380000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11639079-0.11648667) × cos(-0.15099937) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.988621240211683 × 6371000     		do = 603.900747742783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11639079-0.11648667) × cos(-0.15109415) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.9886069783754 × 6371000     		du = 603.892035878982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15099937)-sin(-0.15109415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988621240211683-0.9886069783754)×R²
    abs(0.11648667-0.11639079)×1.42618362829472e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.42618362829472e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.42618362829472e-05×40589641000000     		ar = 364658.838673875m²