Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33982 / 21702
↖ ↑ ↗
← N 76.054537°
W 86.665649°		 ← 73.61 m → N 76.054537°
W 86.662903°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.053875°
W 86.665649°		 ← 73.61 m →
5 417 m²		 N 76.053875°
W 86.662903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259265899658203 y=0.165576934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259265899658203 × 217)
    floor (0.259265899658203 × 131072)
    floor (33982.5)     		tx = 33982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165576934814453 × 217)
    floor (0.165576934814453 × 131072)
    floor (21702.5)     		ty = 21702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33982 / 21702 ti = "17/33982/21702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33982/21702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33982 ÷ 217
    33982 ÷ 131072     		x = 0.259262084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21702 ÷ 217
    21702 ÷ 131072     		y = 0.165573120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259262084960938 × 2 - 1) × π
    -0.481475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51260093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165573120117188 × 2 - 1) × π
    0.668853759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10126605794554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51260093} λ = -1.51260093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10126605794554))-π/2
    2×atan(8.17651530442099)-π/2
    2×1.44909920376762-π/2
    2.89819840753524-1.57079632675     		φ = 1.32740208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51260093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.665649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32740208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.054537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33982 KachelY 21702 -1.51260093 1.32740208 -86.665649 76.054537
    Oben rechts KachelX + 1 33983 KachelY 21702 -1.51255299 1.32740208 -86.662903 76.054537
    Unten links KachelX 33982 KachelY + 1 21703 -1.51260093 1.32739053 -86.665649 76.053875
    Unten rechts KachelX + 1 33983 KachelY + 1 21703 -1.51255299 1.32739053 -86.662903 76.053875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32740208-1.32739053) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32740208-1.32739053) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51260093--1.51255299) × cos(1.32740208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240998211630252 × 6371000     		do = 73.6070571257981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51260093--1.51255299) × cos(1.32739053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241009421184391 × 6371000     		du = 73.6104808121662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32740208)-sin(1.32739053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240998211630252-0.241009421184391)×R²
    abs(-1.51255299--1.51260093)×1.12095541391355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12095541391355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12095541391355e-05×40589641000000     		ar = 5416.50494514739m²