Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33981 / 21835
↖ ↑ ↗
← N 51.361492°
E  6.663208°		 ← 381.38 m → N 51.361492°
E  6.668701°		 →
↑
381.43 m
↓
↑
381.43 m
↓
N 51.358061°
E  6.663208°		 ← 381.41 m →
145 475 m²		 N 51.358061°
E  6.668701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518516540527344 y=0.333183288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518516540527344 × 216)
    floor (0.518516540527344 × 65536)
    floor (33981.5)     		tx = 33981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333183288574219 × 216)
    floor (0.333183288574219 × 65536)
    floor (21835.5)     		ty = 21835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33981 / 21835 ti = "16/33981/21835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33981/21835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33981 ÷ 216
    33981 ÷ 65536     		x = 0.518508911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21835 ÷ 216
    21835 ÷ 65536     		y = 0.333175659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518508911132812 × 2 - 1) × π
    0.037017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11629492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333175659179688 × 2 - 1) × π
    0.333648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04818824709215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11629492} λ = 0.11629492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04818824709215))-π/2
    2×atan(2.85247844755572)-π/2
    2×1.23361173248203-π/2
    2.46722346496405-1.57079632675     		φ = 0.89642714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11629492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.663208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89642714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.361492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33981 KachelY 21835 0.11629492 0.89642714 6.663208 51.361492
    Oben rechts KachelX + 1 33982 KachelY 21835 0.11639079 0.89642714 6.668701 51.361492
    Unten links KachelX 33981 KachelY + 1 21836 0.11629492 0.89636727 6.663208 51.358061
    Unten rechts KachelX + 1 33982 KachelY + 1 21836 0.11639079 0.89636727 6.668701 51.358061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89642714-0.89636727) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dl = 381.431769999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89642714-0.89636727) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dr = 381.431769999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11629492-0.11639079) × cos(0.89642714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624404712175049 × 6371000     		do = 381.378761726882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11629492-0.11639079) × cos(0.89636727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624451475572185 × 6371000     		du = 381.407324237936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89642714)-sin(0.89636727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624404712175049-0.624451475572185)×R²
    abs(0.11639079-0.11629492)×4.67633971352743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67633971352743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67633971352743e-05×40589641000000     		ar = 145475.423493826m²