Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33980 / 34758
↖ ↑ ↗
← S 10.865676°
E  6.657715°		 ← 599.90 m → S 10.865676°
E  6.663208°		 →
↑
599.83 m
↓
↑
599.83 m
↓
S 10.871070°
E  6.657715°		 ← 599.89 m →
359 835 m²		 S 10.871070°
E  6.663208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518501281738281 y=0.530372619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518501281738281 × 216)
    floor (0.518501281738281 × 65536)
    floor (33980.5)     		tx = 33980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530372619628906 × 216)
    floor (0.530372619628906 × 65536)
    floor (34758.5)     		ty = 34758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33980 / 34758 ti = "16/33980/34758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33980/34758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33980 ÷ 216
    33980 ÷ 65536     		x = 0.51849365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34758 ÷ 216
    34758 ÷ 65536     		y = 0.530364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51849365234375 × 2 - 1) × π
    0.0369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11619904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.06072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190788860487823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11619904} λ = 0.11619904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190788860487823))-π/2
    2×atan(0.826307035798597)-π/2
    2×0.690577254085519-π/2
    1.38115450817104-1.57079632675     		φ = -0.18964182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11619904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18964182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.865676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33980 KachelY 34758 0.11619904 -0.18964182 6.657715 -10.865676
    Oben rechts KachelX + 1 33981 KachelY 34758 0.11629492 -0.18964182 6.663208 -10.865676
    Unten links KachelX 33980 KachelY + 1 34759 0.11619904 -0.18973597 6.657715 -10.871070
    Unten rechts KachelX + 1 33981 KachelY + 1 34759 0.11629492 -0.18973597 6.663208 -10.871070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18964182--0.18973597) × R
    9.41500000000151e-05 × 6371000     		dl = 599.829650000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18964182--0.18973597) × R
    9.41500000000151e-05 × 6371000     		dr = 599.829650000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11619904-0.11629492) × cos(-0.18964182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.982071817602736 × 6371000     		do = 599.900023248875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11619904-0.11629492) × cos(-0.18973597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98205406530207 × 6371000     		du = 599.88917922974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18964182)-sin(-0.18973597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982071817602736-0.98205406530207)×R²
    abs(0.11629492-0.11619904)×1.77523006653635e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.77523006653635e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.77523006653635e-05×40589641000000     		ar = 359834.568964144m²