Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3398 / 3132
↖ ↑ ↗
← S 68.528235°
E118.652344°		 ← 3 577.33 m → S 68.528235°
E118.740234°		 →
↑
3 574.77 m
↓
↑
3 574.77 m
↓
S 68.560384°
E118.652344°		 ← 3 572.23 m →
12 779 004 m²		 S 68.560384°
E118.740234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8297119140625 y=0.7647705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8297119140625 × 212)
    floor (0.8297119140625 × 4096)
    floor (3398.5)     		tx = 3398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7647705078125 × 212)
    floor (0.7647705078125 × 4096)
    floor (3132.5)     		ty = 3132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3398 / 3132 ti = "12/3398/3132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3398/3132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3398 ÷ 212
    3398 ÷ 4096     		x = 0.82958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3132 ÷ 212
    3132 ÷ 4096     		y = 0.7646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82958984375 × 2 - 1) × π
    0.6591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07087406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    -0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07087406} λ = 2.07087406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66283517402051))-π/2
    2×atan(0.18960066647185)-π/2
    2×0.18737649843559-π/2
    0.374752996871181-1.57079632675     		φ = -1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07087406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3398 KachelY 3132 2.07087406 -1.19604333 118.652344 -68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 3399 KachelY 3132 2.07240804 -1.19604333 118.740234 -68.528235
    Unten links KachelX 3398 KachelY + 1 3133 2.07087406 -1.19660443 118.652344 -68.560384
    Unten rechts KachelX + 1 3399 KachelY + 1 3133 2.07240804 -1.19660443 118.740234 -68.560384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19604333--1.19660443) × R
    0.000561100000000092 × 6371000     		dl = 3574.76810000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19604333--1.19660443) × R
    0.000561100000000092 × 6371000     		dr = 3574.76810000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07087406-2.07240804) × cos(-1.19604333) × R
    0.00153398000000005 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 3577.33019495095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07087406-2.07240804) × cos(-1.19660443) × R
    0.00153398000000005 × 0.365520463382635 × 6371000     		du = 3572.22658335398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19604333)-sin(-1.19660443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.365520463382635)×R²
    abs(2.07240804-2.07087406)×0.0005222161675143×R²
    0.00153398000000005×0.0005222161675143×6371000²
    0.00153398000000005×0.0005222161675143×40589641000000     		ar = 12779004.085387m²