Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33978 / 36283
↖ ↑ ↗
← S 18.953051°
E  6.646729°		 ← 577.67 m → S 18.953051°
E  6.652222°		 →
↑
577.66 m
↓
↑
577.66 m
↓
S 18.958246°
E  6.646729°		 ← 577.66 m →
333 693 m²		 S 18.958246°
E  6.652222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518470764160156 y=0.553642272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518470764160156 × 216)
    floor (0.518470764160156 × 65536)
    floor (33978.5)     		tx = 33978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553642272949219 × 216)
    floor (0.553642272949219 × 65536)
    floor (36283.5)     		ty = 36283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33978 / 36283 ti = "16/33978/36283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33978/36283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33978 ÷ 216
    33978 ÷ 65536     		x = 0.518463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36283 ÷ 216
    36283 ÷ 65536     		y = 0.553634643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518463134765625 × 2 - 1) × π
    0.03692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11600730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553634643554688 × 2 - 1) × π
    -0.107269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.336996404328995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11600730} λ = 0.11600730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336996404328995))-π/2
    2×atan(0.713911406888651)-π/2
    2×0.620001589905698-π/2
    1.2400031798114-1.57079632675     		φ = -0.33079315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11600730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33079315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.953051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33978 KachelY 36283 0.11600730 -0.33079315 6.646729 -18.953051
    Oben rechts KachelX + 1 33979 KachelY 36283 0.11610317 -0.33079315 6.652222 -18.953051
    Unten links KachelX 33978 KachelY + 1 36284 0.11600730 -0.33088382 6.646729 -18.958246
    Unten rechts KachelX + 1 33979 KachelY + 1 36284 0.11610317 -0.33088382 6.652222 -18.958246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33079315--0.33088382) × R
    9.06700000000149e-05 × 6371000     		dl = 577.658570000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33079315--0.33088382) × R
    9.06700000000149e-05 × 6371000     		dr = 577.658570000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11600730-0.11610317) × cos(-0.33079315) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.945785031255945 × 6371000     		do = 577.67393014027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11600730-0.11610317) × cos(-0.33088382) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.945755578361627 × 6371000     		du = 577.655940672629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33079315)-sin(-0.33088382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945785031255945-0.945755578361627)×R²
    abs(0.11610317-0.11600730)×2.9452894318438e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.9452894318438e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.9452894318438e-05×40589641000000     		ar = 333693.100754621m²