Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33978 / 34766
↖ ↑ ↗
← S 10.908830°
E  6.646729°		 ← 599.75 m → S 10.908830°
E  6.652222°		 →
↑
599.77 m
↓
↑
599.77 m
↓
S 10.914224°
E  6.646729°		 ← 599.74 m →
359 707 m²		 S 10.914224°
E  6.652222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518470764160156 y=0.530494689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518470764160156 × 216)
    floor (0.518470764160156 × 65536)
    floor (33978.5)     		tx = 33978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530494689941406 × 216)
    floor (0.530494689941406 × 65536)
    floor (34766.5)     		ty = 34766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33978 / 34766 ti = "16/33978/34766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33978/34766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33978 ÷ 216
    33978 ÷ 65536     		x = 0.518463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34766 ÷ 216
    34766 ÷ 65536     		y = 0.530487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518463134765625 × 2 - 1) × π
    0.03692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11600730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.06097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.191555850881744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11600730} λ = 0.11600730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191555850881744))-π/2
    2×atan(0.825673509225165)-π/2
    2×0.690200661521038-π/2
    1.38040132304208-1.57079632675     		φ = -0.19039500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11600730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19039500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.908830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33978 KachelY 34766 0.11600730 -0.19039500 6.646729 -10.908830
    Oben rechts KachelX + 1 33979 KachelY 34766 0.11610317 -0.19039500 6.652222 -10.908830
    Unten links KachelX 33978 KachelY + 1 34767 0.11600730 -0.19048914 6.646729 -10.914224
    Unten rechts KachelX + 1 33979 KachelY + 1 34767 0.11610317 -0.19048914 6.652222 -10.914224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19039500--0.19048914) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dl = 599.765939999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19039500--0.19048914) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dr = 599.765939999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11600730-0.11610317) × cos(-0.19039500) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.98192955924709 × 6371000     		do = 599.750565789687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11600730-0.11610317) × cos(-0.19048914) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.981911739204913 × 6371000     		du = 599.739681525864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19039500)-sin(-0.19048914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98192955924709-0.981911739204913)×R²
    abs(0.11610317-0.11600730)×1.7820042177541e-05×R²
    9.58700000000118e-05×1.7820042177541e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×1.7820042177541e-05×40589641000000     		ar = 359706.698116664m²