Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33977 / 34505
↖ ↑ ↗
← S  9.497826°
E  6.641235°		 ← 602.48 m → S  9.497826°
E  6.646729°		 →
↑
602.44 m
↓
↑
602.44 m
↓
S  9.503244°
E  6.641235°		 ← 602.47 m →
362 955 m²		 S  9.503244°
E  6.646729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518455505371094 y=0.526512145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518455505371094 × 216)
    floor (0.518455505371094 × 65536)
    floor (33977.5)     		tx = 33977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526512145996094 × 216)
    floor (0.526512145996094 × 65536)
    floor (34505.5)     		ty = 34505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33977 / 34505 ti = "16/33977/34505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33977/34505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33977 ÷ 216
    33977 ÷ 65536     		x = 0.518447875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34505 ÷ 216
    34505 ÷ 65536     		y = 0.526504516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518447875976562 × 2 - 1) × π
    0.036895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11591142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.053009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.166532789280075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11591142} λ = 0.11591142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166532789280075))-π/2
    2×atan(0.84659505723789)-π/2
    2×0.702513995138655-π/2
    1.40502799027731-1.57079632675     		φ = -0.16576834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11591142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.641235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16576834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.497826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33977 KachelY 34505 0.11591142 -0.16576834 6.641235 -9.497826
    Oben rechts KachelX + 1 33978 KachelY 34505 0.11600730 -0.16576834 6.646729 -9.497826
    Unten links KachelX 33977 KachelY + 1 34506 0.11591142 -0.16586290 6.641235 -9.503244
    Unten rechts KachelX + 1 33978 KachelY + 1 34506 0.11600730 -0.16586290 6.646729 -9.503244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16576834--0.16586290) × R
    9.45600000000213e-05 × 6371000     		dl = 602.441760000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16576834--0.16586290) × R
    9.45600000000213e-05 × 6371000     		dr = 602.441760000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11591142-0.11600730) × cos(-0.16576834) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.986291862558545 × 6371000     		do = 602.477843955798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11591142-0.11600730) × cos(-0.16586290) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.986276254785765 × 6371000     		du = 602.468309924695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16576834)-sin(-0.16586290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986291862558545-0.986276254785765)×R²
    abs(0.11600730-0.11591142)×1.56077727805348e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.56077727805348e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.56077727805348e-05×40589641000000     		ar = 362954.94109509m²