Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33975 / 34537
↖ ↑ ↗
← S  9.671153°
E  6.630249°		 ← 602.11 m → S  9.671153°
E  6.635742°		 →
↑
602.12 m
↓
↑
602.12 m
↓
S  9.676568°
E  6.630249°		 ← 602.10 m →
362 540 m²		 S  9.676568°
E  6.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518424987792969 y=0.527000427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518424987792969 × 216)
    floor (0.518424987792969 × 65536)
    floor (33975.5)     		tx = 33975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527000427246094 × 216)
    floor (0.527000427246094 × 65536)
    floor (34537.5)     		ty = 34537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33975 / 34537 ti = "16/33975/34537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33975/34537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33975 ÷ 216
    33975 ÷ 65536     		x = 0.518417358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34537 ÷ 216
    34537 ÷ 65536     		y = 0.526992797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518417358398438 × 2 - 1) × π
    0.036834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11571968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526992797851562 × 2 - 1) × π
    -0.053985595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169600750855759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11571968} λ = 0.11571968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169600750855759))-π/2
    2×atan(0.844001716301421)-π/2
    2×0.701001427574428-π/2
    1.40200285514886-1.57079632675     		φ = -0.16879347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11571968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16879347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.671153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33975 KachelY 34537 0.11571968 -0.16879347 6.630249 -9.671153
    Oben rechts KachelX + 1 33976 KachelY 34537 0.11581555 -0.16879347 6.635742 -9.671153
    Unten links KachelX 33975 KachelY + 1 34538 0.11571968 -0.16888798 6.630249 -9.676568
    Unten rechts KachelX + 1 33976 KachelY + 1 34538 0.11581555 -0.16888798 6.635742 -9.676568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16879347--0.16888798) × R
    9.45099999999921e-05 × 6371000     		dl = 602.12320999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16879347--0.16888798) × R
    9.45099999999921e-05 × 6371000     		dr = 602.12320999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11571968-0.11581555) × cos(-0.16879347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985788173074656 × 6371000     		do = 602.10735992463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11571968-0.11581555) × cos(-0.16888798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985772291645274 × 6371000     		du = 602.097659741793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16879347)-sin(-0.16888798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985788173074656-0.985772291645274)×R²
    abs(0.11581555-0.11571968)×1.58814293814702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58814293814702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58814293814702e-05×40589641000000     		ar = 362539.896239642m²