Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33971 / 34541
↖ ↑ ↗
← S  9.692813°
E  6.608276°		 ← 602.07 m → S  9.692813°
E  6.613769°		 →
↑
602.12 m
↓
↑
602.12 m
↓
S  9.698228°
E  6.608276°		 ← 602.06 m →
362 517 m²		 S  9.698228°
E  6.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518363952636719 y=0.527061462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518363952636719 × 216)
    floor (0.518363952636719 × 65536)
    floor (33971.5)     		tx = 33971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527061462402344 × 216)
    floor (0.527061462402344 × 65536)
    floor (34541.5)     		ty = 34541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33971 / 34541 ti = "16/33971/34541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33971/34541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33971 ÷ 216
    33971 ÷ 65536     		x = 0.518356323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34541 ÷ 216
    34541 ÷ 65536     		y = 0.527053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518356323242188 × 2 - 1) × π
    0.036712646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11533618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.054107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.169984246052719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11533618} λ = 0.11533618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169984246052719))-π/2
    2×atan(0.843678107752121)-π/2
    2×0.7008124111529-π/2
    1.4016248223058-1.57079632675     		φ = -0.16917150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11533618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.608276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16917150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.692813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33971 KachelY 34541 0.11533618 -0.16917150 6.608276 -9.692813
    Oben rechts KachelX + 1 33972 KachelY 34541 0.11543205 -0.16917150 6.613769 -9.692813
    Unten links KachelX 33971 KachelY + 1 34542 0.11533618 -0.16926601 6.608276 -9.698228
    Unten rechts KachelX + 1 33972 KachelY + 1 34542 0.11543205 -0.16926601 6.613769 -9.698228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16917150--0.16926601) × R
    9.45099999999921e-05 × 6371000     		dl = 602.12320999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16917150--0.16926601) × R
    9.45099999999921e-05 × 6371000     		dr = 602.12320999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11533618-0.11543205) × cos(-0.16917150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985724596211018 × 6371000     		do = 602.068527953865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11533618-0.11543205) × cos(-0.16926601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985708679563195 × 6371000     		du = 602.058806260035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16917150)-sin(-0.16926601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985724596211018-0.985708679563195)×R²
    abs(0.11543205-0.11533618)×1.59166478228556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59166478228556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59166478228556e-05×40589641000000     		ar = 362516.508132598m²