Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33970 / 34768
↖ ↑ ↗
← S 10.919618°
E  6.602783°		 ← 599.73 m → S 10.919618°
E  6.608276°		 →
↑
599.77 m
↓
↑
599.77 m
↓
S 10.925011°
E  6.602783°		 ← 599.72 m →
359 694 m²		 S 10.925011°
E  6.608276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518348693847656 y=0.530525207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518348693847656 × 216)
    floor (0.518348693847656 × 65536)
    floor (33970.5)     		tx = 33970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530525207519531 × 216)
    floor (0.530525207519531 × 65536)
    floor (34768.5)     		ty = 34768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33970 / 34768 ti = "16/33970/34768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33970/34768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33970 ÷ 216
    33970 ÷ 65536     		x = 0.518341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34768 ÷ 216
    34768 ÷ 65536     		y = 0.530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518341064453125 × 2 - 1) × π
    0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.06103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11524031} λ = 0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191747598480225))-π/2
    2×atan(0.8255152034905)-π/2
    2×0.690106521912292-π/2
    1.38021304382458-1.57079632675     		φ = -0.19058328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19058328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.919618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33970 KachelY 34768 0.11524031 -0.19058328 6.602783 -10.919618
    Oben rechts KachelX + 1 33971 KachelY 34768 0.11533618 -0.19058328 6.608276 -10.919618
    Unten links KachelX 33970 KachelY + 1 34769 0.11524031 -0.19067742 6.602783 -10.925011
    Unten rechts KachelX + 1 33971 KachelY + 1 34769 0.11533618 -0.19067742 6.608276 -10.925011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19058328--0.19067742) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dl = 599.765939999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19058328--0.19067742) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dr = 599.765939999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11524031-0.11533618) × cos(-0.19058328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9818939104607 × 6371000     		do = 599.728791946857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11524031-0.11533618) × cos(-0.19067742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98187607301461 × 6371000     		du = 599.717897052937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19058328)-sin(-0.19067742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818939104607-0.98187607301461)×R²
    abs(0.11533618-0.11524031)×1.78374460900743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78374460900743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78374460900743e-05×40589641000000     		ar = 359693.635719569m²