Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33970 / 34543
↖ ↑ ↗
← S  9.703642°
E  6.602783°		 ← 602.05 m → S  9.703642°
E  6.608276°		 →
↑
602.06 m
↓
↑
602.06 m
↓
S  9.709057°
E  6.602783°		 ← 602.04 m →
362 466 m²		 S  9.709057°
E  6.608276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518348693847656 y=0.527091979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518348693847656 × 216)
    floor (0.518348693847656 × 65536)
    floor (33970.5)     		tx = 33970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527091979980469 × 216)
    floor (0.527091979980469 × 65536)
    floor (34543.5)     		ty = 34543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33970 / 34543 ti = "16/33970/34543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33970/34543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33970 ÷ 216
    33970 ÷ 65536     		x = 0.518341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34543 ÷ 216
    34543 ÷ 65536     		y = 0.527084350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518341064453125 × 2 - 1) × π
    0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527084350585938 × 2 - 1) × π
    -0.054168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.170175993651199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11524031} λ = 0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170175993651199))-π/2
    2×atan(0.843516350009894)-π/2
    2×0.700717907516965-π/2
    1.40143581503393-1.57079632675     		φ = -0.16936051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16936051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.703642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33970 KachelY 34543 0.11524031 -0.16936051 6.602783 -9.703642
    Oben rechts KachelX + 1 33971 KachelY 34543 0.11533618 -0.16936051 6.608276 -9.703642
    Unten links KachelX 33970 KachelY + 1 34544 0.11524031 -0.16945501 6.602783 -9.709057
    Unten rechts KachelX + 1 33971 KachelY + 1 34544 0.11533618 -0.16945501 6.608276 -9.709057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16936051--0.16945501) × R
    9.44999999999974e-05 × 6371000     		dl = 602.059499999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16936051--0.16945501) × R
    9.44999999999974e-05 × 6371000     		dr = 602.059499999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11524031-0.11533618) × cos(-0.16936051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985692755796405 × 6371000     		do = 602.049080218027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11524031-0.11533618) × cos(-0.16945501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985676823227132 × 6371000     		du = 602.039348799571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16936051)-sin(-0.16945501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985692755796405-0.985676823227132)×R²
    abs(0.11533618-0.11524031)×1.59325692730139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59325692730139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59325692730139e-05×40589641000000     		ar = 362466.439034754m²