Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3397 / 3133
↖ ↑ ↗
← S 68.560384°
E118.564453°		 ← 3 572.23 m → S 68.560384°
E118.652344°		 →
↑
3 569.67 m
↓
↑
3 569.67 m
↓
S 68.592486°
E118.564453°		 ← 3 567.13 m →
12 742 577 m²		 S 68.592486°
E118.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8294677734375 y=0.7650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8294677734375 × 212)
    floor (0.8294677734375 × 4096)
    floor (3397.5)     		tx = 3397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7650146484375 × 212)
    floor (0.7650146484375 × 4096)
    floor (3133.5)     		ty = 3133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3397 / 3133 ti = "12/3397/3133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3397/3133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3397 ÷ 212
    3397 ÷ 4096     		x = 0.829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3133 ÷ 212
    3133 ÷ 4096     		y = 0.764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829345703125 × 2 - 1) × π
    0.65869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06934008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.52978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06934008} λ = 2.06934008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66436915480835))-π/2
    2×atan(0.189310045652485)-π/2
    2×0.187095947524891-π/2
    0.374191895049781-1.57079632675     		φ = -1.19660443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06934008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19660443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.560384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3397 KachelY 3133 2.06934008 -1.19660443 118.564453 -68.560384
    Oben rechts KachelX + 1 3398 KachelY 3133 2.07087406 -1.19660443 118.652344 -68.560384
    Unten links KachelX 3397 KachelY + 1 3134 2.06934008 -1.19716473 118.564453 -68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 3398 KachelY + 1 3134 2.07087406 -1.19716473 118.652344 -68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19660443--1.19716473) × R
    0.000560299999999847 × 6371000     		dl = 3569.67129999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19660443--1.19716473) × R
    0.000560299999999847 × 6371000     		dr = 3569.67129999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06934008-2.07087406) × cos(-1.19660443) × R
    0.00153398000000005 × 0.365520463382635 × 6371000     		do = 3572.22658335398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06934008-2.07087406) × cos(-1.19716473) × R
    0.00153398000000005 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 3567.12912608524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19660443)-sin(-1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365520463382635-0.364998876943627)×R²
    abs(2.07087406-2.06934008)×0.000521586439007737×R²
    0.00153398000000005×0.000521586439007737×6371000²
    0.00153398000000005×0.000521586439007737×40589641000000     		ar = 12742576.9215968m²