Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3397 / 1093
↖ ↑ ↗
← N 82.480460°
W105.358887°		 ← 319.74 m → N 82.480460°
W105.336914°		 →
↑
319.82 m
↓
↑
319.82 m
↓
N 82.477584°
W105.358887°		 ← 319.86 m →
102 279 m²		 N 82.477584°
W105.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207366943359375 y=0.066741943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207366943359375 × 214)
    floor (0.207366943359375 × 16384)
    floor (3397.5)     		tx = 3397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.066741943359375 × 214)
    floor (0.066741943359375 × 16384)
    floor (1093.5)     		ty = 1093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3397 / 1093 ti = "14/3397/1093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3397/1093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3397 ÷ 214
    3397 ÷ 16384     		x = 0.20733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1093 ÷ 214
    1093 ÷ 16384     		y = 0.06671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.5853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.83885947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06671142578125 × 2 - 1) × π
    0.8665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.72243240322223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.83885947} λ = -1.83885947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72243240322223))-π/2
    2×atan(15.2172918539672)-π/2
    2×1.50517596193128-π/2
    3.01035192386256-1.57079632675     		φ = 1.43955560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.83885947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43955560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.480460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3397 KachelY 1093 -1.83885947 1.43955560 -105.358887 82.480460
    Oben rechts KachelX + 1 3398 KachelY 1093 -1.83847597 1.43955560 -105.336914 82.480460
    Unten links KachelX 3397 KachelY + 1 1094 -1.83885947 1.43950540 -105.358887 82.477584
    Unten rechts KachelX + 1 3398 KachelY + 1 1094 -1.83847597 1.43950540 -105.336914 82.477584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43955560-1.43950540) × R
    5.02000000000002e-05 × 6371000     		dl = 319.824200000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43955560-1.43950540) × R
    5.02000000000002e-05 × 6371000     		dr = 319.824200000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.83885947--1.83847597) × cos(1.43955560) × R
    0.000383500000000092 × 0.130864299934802 × 6371000     		do = 319.737930448329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.83885947--1.83847597) × cos(1.43950540) × R
    0.000383500000000092 × 0.130914068064447 × 6371000     		du = 319.859527849477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43955560)-sin(1.43950540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130864299934802-0.130914068064447)×R²
    abs(-1.83847597--1.83885947)×4.97681296452446e-05×R²
    0.000383500000000092×4.97681296452446e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.97681296452446e-05×40589641000000     		ar = 102279.37273203m²