Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33969 / 34615
↖ ↑ ↗
← S 10.093262°
E  6.597290°		 ← 601.40 m → S 10.093262°
E  6.602783°		 →
↑
601.36 m
↓
↑
601.36 m
↓
S 10.098670°
E  6.597290°		 ← 601.39 m →
361 653 m²		 S 10.098670°
E  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518333435058594 y=0.528190612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518333435058594 × 216)
    floor (0.518333435058594 × 65536)
    floor (33969.5)     		tx = 33969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528190612792969 × 216)
    floor (0.528190612792969 × 65536)
    floor (34615.5)     		ty = 34615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33969 / 34615 ti = "16/33969/34615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33969/34615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33969 ÷ 216
    33969 ÷ 65536     		x = 0.518325805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34615 ÷ 216
    34615 ÷ 65536     		y = 0.528182983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518325805664062 × 2 - 1) × π
    0.036651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11514443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.056365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177078907196487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11514443} λ = 0.11514443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177078907196487))-π/2
    2×atan(0.837713680277008)-π/2
    2×0.697317836183134-π/2
    1.39463567236627-1.57079632675     		φ = -0.17616065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11514443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.597290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17616065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.093262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33969 KachelY 34615 0.11514443 -0.17616065 6.597290 -10.093262
    Oben rechts KachelX + 1 33970 KachelY 34615 0.11524031 -0.17616065 6.602783 -10.093262
    Unten links KachelX 33969 KachelY + 1 34616 0.11514443 -0.17625504 6.597290 -10.098670
    Unten rechts KachelX + 1 33970 KachelY + 1 34616 0.11524031 -0.17625504 6.602783 -10.098670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17616065--0.17625504) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dl = 601.358689999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17616065--0.17625504) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dr = 601.358689999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11514443-0.11524031) × cos(-0.17616065) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984523797073773 × 6371000     		do = 601.397818537688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11514443-0.11524031) × cos(-0.17625504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984507250751501 × 6371000     		du = 601.38771119224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17616065)-sin(-0.17625504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984523797073773-0.984507250751501)×R²
    abs(0.11524031-0.11514443)×1.654632227166e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.654632227166e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.654632227166e-05×40589641000000     		ar = 361652.765523222m²