Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33968 / 34544
↖ ↑ ↗
← S  9.709057°
E  6.591797°		 ← 602.04 m → S  9.709057°
E  6.597290°		 →
↑
602.06 m
↓
↑
602.06 m
↓
S  9.714471°
E  6.591797°		 ← 602.03 m →
362 461 m²		 S  9.714471°
E  6.597290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518318176269531 y=0.527107238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518318176269531 × 216)
    floor (0.518318176269531 × 65536)
    floor (33968.5)     		tx = 33968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527107238769531 × 216)
    floor (0.527107238769531 × 65536)
    floor (34544.5)     		ty = 34544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33968 / 34544 ti = "16/33968/34544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33968/34544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33968 ÷ 216
    33968 ÷ 65536     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34544 ÷ 216
    34544 ÷ 65536     		y = 0.527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.170271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170271867450439))-π/2
    2×atan(0.843435482769284)-π/2
    2×0.700670656844138-π/2
    1.40134131368828-1.57079632675     		φ = -0.16945501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16945501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.709057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33968 KachelY 34544 0.11504856 -0.16945501 6.591797 -9.709057
    Oben rechts KachelX + 1 33969 KachelY 34544 0.11514443 -0.16945501 6.597290 -9.709057
    Unten links KachelX 33968 KachelY + 1 34545 0.11504856 -0.16954951 6.591797 -9.714471
    Unten rechts KachelX + 1 33969 KachelY + 1 34545 0.11514443 -0.16954951 6.597290 -9.714471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16945501--0.16954951) × R
    9.44999999999974e-05 × 6371000     		dl = 602.059499999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16945501--0.16954951) × R
    9.44999999999974e-05 × 6371000     		dr = 602.059499999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11514443) × cos(-0.16945501) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.985676823227132 × 6371000     		do = 602.039348799658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11514443) × cos(-0.16954951) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.985660881855518 × 6371000     		du = 602.02961200484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16945501)-sin(-0.16954951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985676823227132-0.985660881855518)×R²
    abs(0.11514443-0.11504856)×1.5941371613426e-05×R²
    9.58700000000118e-05×1.5941371613426e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×1.5941371613426e-05×40589641000000     		ar = 362460.578523542m²