Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33961 / 34530
↖ ↑ ↗
← S  9.633246°
E  6.553345°		 ← 602.24 m → S  9.633246°
E  6.558838°		 →
↑
602.19 m
↓
↑
602.19 m
↓
S  9.638662°
E  6.553345°		 ← 602.23 m →
362 657 m²		 S  9.638662°
E  6.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518211364746094 y=0.526893615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518211364746094 × 216)
    floor (0.518211364746094 × 65536)
    floor (33961.5)     		tx = 33961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526893615722656 × 216)
    floor (0.526893615722656 × 65536)
    floor (34530.5)     		ty = 34530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33961 / 34530 ti = "16/33961/34530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33961/34530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33961 ÷ 216
    33961 ÷ 65536     		x = 0.518203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34530 ÷ 216
    34530 ÷ 65536     		y = 0.526885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518203735351562 × 2 - 1) × π
    0.036407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11437744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.05377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.168929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11437744} λ = 0.11437744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168929634261078))-π/2
    2×atan(0.844568329969821)-π/2
    2×0.701332235598884-π/2
    1.40266447119777-1.57079632675     		φ = -0.16813186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11437744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16813186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.633246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33961 KachelY 34530 0.11437744 -0.16813186 6.553345 -9.633246
    Oben rechts KachelX + 1 33962 KachelY 34530 0.11447332 -0.16813186 6.558838 -9.633246
    Unten links KachelX 33961 KachelY + 1 34531 0.11437744 -0.16822638 6.553345 -9.638662
    Unten rechts KachelX + 1 33962 KachelY + 1 34531 0.11447332 -0.16822638 6.558838 -9.638662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16813186--0.16822638) × R
    9.45200000000146e-05 × 6371000     		dl = 602.186920000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16813186--0.16822638) × R
    9.45200000000146e-05 × 6371000     		dr = 602.186920000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11437744-0.11447332) × cos(-0.16813186) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.985899103220481 × 6371000     		do = 602.237926332944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11437744-0.11447332) × cos(-0.16822638) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.985883281759847 × 6371000     		du = 602.2282617703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16813186)-sin(-0.16822638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985899103220481-0.985883281759847)×R²
    abs(0.11447332-0.11437744)×1.58214606336138e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.58214606336138e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.58214606336138e-05×40589641000000     		ar = 362656.89229908m²