Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3396 / 3134
↖ ↑ ↗
← S 68.592486°
E118.476562°		 ← 3 567.13 m → S 68.592486°
E118.564453°		 →
↑
3 564.57 m
↓
↑
3 564.57 m
↓
S 68.624543°
E118.476562°		 ← 3 562.04 m →
12 706 224 m²		 S 68.624543°
E118.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8292236328125 y=0.7652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8292236328125 × 212)
    floor (0.8292236328125 × 4096)
    floor (3396.5)     		tx = 3396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7652587890625 × 212)
    floor (0.7652587890625 × 4096)
    floor (3134.5)     		ty = 3134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3396 / 3134 ti = "12/3396/3134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3396/3134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3396 ÷ 212
    3396 ÷ 4096     		x = 0.8291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3134 ÷ 212
    3134 ÷ 4096     		y = 0.76513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8291015625 × 2 - 1) × π
    0.658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06780610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    -0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06780610} λ = 2.06780610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66590313559619))-π/2
    2×atan(0.189019870298119)-π/2
    2×0.186815796908552-π/2
    0.373631593817103-1.57079632675     		φ = -1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06780610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.476562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3396 KachelY 3134 2.06780610 -1.19716473 118.476562 -68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 3397 KachelY 3134 2.06934008 -1.19716473 118.564453 -68.592486
    Unten links KachelX 3396 KachelY + 1 3135 2.06780610 -1.19772423 118.476562 -68.624543
    Unten rechts KachelX + 1 3397 KachelY + 1 3135 2.06934008 -1.19772423 118.564453 -68.624543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19716473--1.19772423) × R
    0.000559500000000046 × 6371000     		dl = 3564.57450000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19716473--1.19772423) × R
    0.000559500000000046 × 6371000     		dr = 3564.57450000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06780610-2.06934008) × cos(-1.19716473) × R
    0.00153398000000005 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 3567.12912608524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06780610-2.06934008) × cos(-1.19772423) × R
    0.00153398000000005 × 0.364477920888042 × 6371000     		du = 3562.03782954525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19716473)-sin(-1.19772423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.364477920888042)×R²
    abs(2.06934008-2.06780610)×0.000520956055584443×R²
    0.00153398000000005×0.000520956055584443×6371000²
    0.00153398000000005×0.000520956055584443×40589641000000     		ar = 12706223.6996034m²