Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3396 / 1092
↖ ↑ ↗
← N 82.483335°
W105.380859°		 ← 319.61 m → N 82.483335°
W105.358887°		 →
↑
319.63 m
↓
↑
319.63 m
↓
N 82.480460°
W105.380859°		 ← 319.73 m →
102 177 m²		 N 82.480460°
W105.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207305908203125 y=0.066680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207305908203125 × 214)
    floor (0.207305908203125 × 16384)
    floor (3396.5)     		tx = 3396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.066680908203125 × 214)
    floor (0.066680908203125 × 16384)
    floor (1092.5)     		ty = 1092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3396 / 1092 ti = "14/3396/1092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3396/1092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3396 ÷ 214
    3396 ÷ 16384     		x = 0.207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1092 ÷ 214
    1092 ÷ 16384     		y = 0.066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.207275390625 × 2 - 1) × π
    -0.58544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.83924296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.066650390625 × 2 - 1) × π
    0.86669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72281589841919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.83924296} λ = -1.83924296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72281589841919))-π/2
    2×atan(15.2231287314397)-π/2
    2×1.50520105007754-π/2
    3.01040210015508-1.57079632675     		φ = 1.43960577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.83924296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43960577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.483335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3396 KachelY 1092 -1.83924296 1.43960577 -105.380859 82.483335
    Oben rechts KachelX + 1 3397 KachelY 1092 -1.83885947 1.43960577 -105.358887 82.483335
    Unten links KachelX 3396 KachelY + 1 1093 -1.83924296 1.43955560 -105.380859 82.480460
    Unten rechts KachelX + 1 3397 KachelY + 1 1093 -1.83885947 1.43955560 -105.358887 82.480460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43960577-1.43955560) × R
    5.01699999999605e-05 × 6371000     		dl = 319.633069999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43960577-1.43955560) × R
    5.01699999999605e-05 × 6371000     		dr = 319.633069999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.83924296--1.83885947) × cos(1.43960577) × R
    0.000383489999999931 × 0.130814561217579 × 6371000     		do = 319.608070714092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.83924296--1.83885947) × cos(1.43955560) × R
    0.000383489999999931 × 0.130864299934802 × 6371000     		du = 319.729593083646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43960577)-sin(1.43955560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130814561217579-0.130864299934802)×R²
    abs(-1.83885947--1.83924296)×4.9738717222747e-05×R²
    0.000383489999999931×4.9738717222747e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.9738717222747e-05×40589641000000     		ar = 102176.730144755m²