Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33959 / 34238
↖ ↑ ↗
← S  8.048352°
E  6.542358°		 ← 604.83 m → S  8.048352°
E  6.547852°		 →
↑
604.74 m
↓
↑
604.74 m
↓
S  8.053790°
E  6.542358°		 ← 604.83 m →
365 762 m²		 S  8.053790°
E  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518180847167969 y=0.522438049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518180847167969 × 216)
    floor (0.518180847167969 × 65536)
    floor (33959.5)     		tx = 33959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522438049316406 × 216)
    floor (0.522438049316406 × 65536)
    floor (34238.5)     		ty = 34238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33959 / 34238 ti = "16/33959/34238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33959/34238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33959 ÷ 216
    33959 ÷ 65536     		x = 0.518173217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34238 ÷ 216
    34238 ÷ 65536     		y = 0.522430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518173217773438 × 2 - 1) × π
    0.036346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11418569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.140934484882965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11418569} λ = 0.11418569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140934484882965))-π/2
    2×atan(0.868546212740486)-π/2
    2×0.715163045508239-π/2
    1.43032609101648-1.57079632675     		φ = -0.14047024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11418569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.542358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14047024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.048352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33959 KachelY 34238 0.11418569 -0.14047024 6.542358 -8.048352
    Oben rechts KachelX + 1 33960 KachelY 34238 0.11428157 -0.14047024 6.547852 -8.048352
    Unten links KachelX 33959 KachelY + 1 34239 0.11418569 -0.14056516 6.542358 -8.053790
    Unten rechts KachelX + 1 33960 KachelY + 1 34239 0.11428157 -0.14056516 6.547852 -8.053790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14047024--0.14056516) × R
    9.49199999999983e-05 × 6371000     		dl = 604.735319999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14047024--0.14056516) × R
    9.49199999999983e-05 × 6371000     		dr = 604.735319999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11418569-0.11428157) × cos(-0.14047024) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990150267979746 × 6371000     		do = 604.834756617778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11418569-0.11428157) × cos(-0.14056516) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990136973889788 × 6371000     		du = 604.826635903252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14047024)-sin(-0.14056516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990150267979746-0.990136973889788)×R²
    abs(0.11428157-0.11418569)×1.32940899572054e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.32940899572054e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.32940899572054e-05×40589641000000     		ar = 365762.484923548m²