Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33958 / 23686
↖ ↑ ↗
← N 44.566991°
E  6.536865°		 ← 435.14 m → N 44.566991°
E  6.542358°		 →
↑
435.20 m
↓
↑
435.20 m
↓
N 44.563077°
E  6.536865°		 ← 435.17 m →
189 382 m²		 N 44.563077°
E  6.542358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518165588378906 y=0.361427307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518165588378906 × 216)
    floor (0.518165588378906 × 65536)
    floor (33958.5)     		tx = 33958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361427307128906 × 216)
    floor (0.361427307128906 × 65536)
    floor (23686.5)     		ty = 23686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33958 / 23686 ti = "16/33958/23686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33958/23686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33958 ÷ 216
    33958 ÷ 65536     		x = 0.518157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23686 ÷ 216
    23686 ÷ 65536     		y = 0.361419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518157958984375 × 2 - 1) × π
    0.03631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11408982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361419677734375 × 2 - 1) × π
    0.27716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.8707258446987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11408982} λ = 0.11408982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8707258446987))-π/2
    2×atan(2.38864400903835)-π/2
    2×1.1743185281634-π/2
    2.34863705632681-1.57079632675     		φ = 0.77784073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11408982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.536865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77784073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.566991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33958 KachelY 23686 0.11408982 0.77784073 6.536865 44.566991
    Oben rechts KachelX + 1 33959 KachelY 23686 0.11418569 0.77784073 6.542358 44.566991
    Unten links KachelX 33958 KachelY + 1 23687 0.11408982 0.77777242 6.536865 44.563077
    Unten rechts KachelX + 1 33959 KachelY + 1 23687 0.11418569 0.77777242 6.542358 44.563077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77784073-0.77777242) × R
    6.83099999999603e-05 × 6371000     		dl = 435.203009999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77784073-0.77777242) × R
    6.83099999999603e-05 × 6371000     		dr = 435.203009999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11408982-0.11418569) × cos(0.77784073) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.712430449686054 × 6371000     		do = 435.143805643895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11408982-0.11418569) × cos(0.77777242) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.71247838406948 × 6371000     		du = 435.173083379055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77784073)-sin(0.77777242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712430449686054-0.71247838406948)×R²
    abs(0.11418569-0.11408982)×4.7934383426429e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.7934383426429e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.7934383426429e-05×40589641000000     		ar = 189382.264952207m²