Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33957 / 34540
↖ ↑ ↗
← S  9.687399°
E  6.531372°		 ← 602.08 m → S  9.687399°
E  6.536865°		 →
↑
602.06 m
↓
↑
602.06 m
↓
S  9.692813°
E  6.531372°		 ← 602.07 m →
362 484 m²		 S  9.692813°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518150329589844 y=0.527046203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518150329589844 × 216)
    floor (0.518150329589844 × 65536)
    floor (33957.5)     		tx = 33957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527046203613281 × 216)
    floor (0.527046203613281 × 65536)
    floor (34540.5)     		ty = 34540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33957 / 34540 ti = "16/33957/34540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33957/34540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33957 ÷ 216
    33957 ÷ 65536     		x = 0.518142700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34540 ÷ 216
    34540 ÷ 65536     		y = 0.52703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518142700195312 × 2 - 1) × π
    0.036285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11399395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11399395} λ = 0.11399395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169888372253479))-π/2
    2×atan(0.843758998255225)-π/2
    2×0.700859664115189-π/2
    1.40171932823038-1.57079632675     		φ = -0.16907700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11399395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.531372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16907700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.687399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33957 KachelY 34540 0.11399395 -0.16907700 6.531372 -9.687399
    Oben rechts KachelX + 1 33958 KachelY 34540 0.11408982 -0.16907700 6.536865 -9.687399
    Unten links KachelX 33957 KachelY + 1 34541 0.11399395 -0.16917150 6.531372 -9.692813
    Unten rechts KachelX + 1 33958 KachelY + 1 34541 0.11408982 -0.16917150 6.536865 -9.692813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16907700--0.16917150) × R
    9.44999999999974e-05 × 6371000     		dl = 602.059499999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16907700--0.16917150) × R
    9.44999999999974e-05 × 6371000     		dr = 602.059499999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11399395-0.11408982) × cos(-0.16907700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985740502371485 × 6371000     		do = 602.078243242146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11399395-0.11408982) × cos(-0.16917150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985724596211018 × 6371000     		du = 602.068527953865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16907700)-sin(-0.16917150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985740502371485-0.985724596211018)×R²
    abs(0.11408982-0.11399395)×1.5906160466761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5906160466761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5906160466761e-05×40589641000000     		ar = 362484.001766205m²