Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33957 / 23647
↖ ↑ ↗
← N 44.719417°
E  6.531372°		 ← 434 m → N 44.719417°
E  6.536865°		 →
↑
434.06 m
↓
↑
434.06 m
↓
N 44.715514°
E  6.531372°		 ← 434.03 m →
188 388 m²		 N 44.715514°
E  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518150329589844 y=0.360832214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518150329589844 × 216)
    floor (0.518150329589844 × 65536)
    floor (33957.5)     		tx = 33957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360832214355469 × 216)
    floor (0.360832214355469 × 65536)
    floor (23647.5)     		ty = 23647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33957 / 23647 ti = "16/33957/23647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33957/23647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33957 ÷ 216
    33957 ÷ 65536     		x = 0.518142700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23647 ÷ 216
    23647 ÷ 65536     		y = 0.360824584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518142700195312 × 2 - 1) × π
    0.036285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11399395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360824584960938 × 2 - 1) × π
    0.278350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874464922869064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11399395} λ = 0.11399395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874464922869064))-π/2
    2×atan(2.39759205400413)-π/2
    2×1.17564869730386-π/2
    2.35129739460771-1.57079632675     		φ = 0.78050107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11399395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.531372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78050107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.719417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33957 KachelY 23647 0.11399395 0.78050107 6.531372 44.719417
    Oben rechts KachelX + 1 33958 KachelY 23647 0.11408982 0.78050107 6.536865 44.719417
    Unten links KachelX 33957 KachelY + 1 23648 0.11399395 0.78043294 6.531372 44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 33958 KachelY + 1 23648 0.11408982 0.78043294 6.536865 44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78050107-0.78043294) × R
    6.81300000000551e-05 × 6371000     		dl = 434.056230000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78050107-0.78043294) × R
    6.81300000000551e-05 × 6371000     		dr = 434.056230000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11399395-0.11408982) × cos(0.78050107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710561056563508 × 6371000     		do = 434.00200318726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11399395-0.11408982) × cos(0.78043294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 434.03128254549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78050107)-sin(0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710561056563508-0.710608993604276)×R²
    abs(0.11408982-0.11399395)×4.79370407672208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79370407672208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79370407672208e-05×40589641000000     		ar = 188387.627832865m²