Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33956 / 34203
↖ ↑ ↗
← S  7.857940°
E  6.525879°		 ← 605.12 m → S  7.857940°
E  6.531372°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.863382°
E  6.525879°		 ← 605.11 m →
366 125 m²		 S  7.863382°
E  6.531372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518135070800781 y=0.521903991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518135070800781 × 216)
    floor (0.518135070800781 × 65536)
    floor (33956.5)     		tx = 33956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521903991699219 × 216)
    floor (0.521903991699219 × 65536)
    floor (34203.5)     		ty = 34203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33956 / 34203 ti = "16/33956/34203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33956/34203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33956 ÷ 216
    33956 ÷ 65536     		x = 0.51812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34203 ÷ 216
    34203 ÷ 65536     		y = 0.521896362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521896362304688 × 2 - 1) × π
    -0.043792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.137578901909561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11389807} λ = 0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137578901909561))-π/2
    2×atan(0.871465586985497)-π/2
    2×0.71682469844261-π/2
    1.43364939688522-1.57079632675     		φ = -0.13714693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13714693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.857940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33956 KachelY 34203 0.11389807 -0.13714693 6.525879 -7.857940
    Oben rechts KachelX + 1 33957 KachelY 34203 0.11399395 -0.13714693 6.531372 -7.857940
    Unten links KachelX 33956 KachelY + 1 34204 0.11389807 -0.13724190 6.525879 -7.863382
    Unten rechts KachelX + 1 33957 KachelY + 1 34204 0.11399395 -0.13724190 6.531372 -7.863382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13714693--0.13724190) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13714693--0.13724190) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11389807-0.11399395) × cos(-0.13714693) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990610091766068 × 6371000     		do = 605.115640658192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11389807-0.11399395) × cos(-0.13724190) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990597103247781 × 6371000     		du = 605.107706602573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13714693)-sin(-0.13724190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990610091766068-0.990597103247781)×R²
    abs(0.11399395-0.11389807)×1.2988518287349e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.2988518287349e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.2988518287349e-05×40589641000000     		ar = 366125.160187375m²