Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33955 / 34202
↖ ↑ ↗
← S  7.852499°
E  6.520386°		 ← 605.06 m → S  7.852499°
E  6.525879°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.857940°
E  6.520386°		 ← 605.05 m →
366 092 m²		 S  7.857940°
E  6.525879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518119812011719 y=0.521888732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518119812011719 × 216)
    floor (0.518119812011719 × 65536)
    floor (33955.5)     		tx = 33955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521888732910156 × 216)
    floor (0.521888732910156 × 65536)
    floor (34202.5)     		ty = 34202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33955 / 34202 ti = "16/33955/34202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33955/34202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33955 ÷ 216
    33955 ÷ 65536     		x = 0.518112182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34202 ÷ 216
    34202 ÷ 65536     		y = 0.521881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518112182617188 × 2 - 1) × π
    0.036224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11380220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.04376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.137483028110321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11380220} λ = 0.11380220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137483028110321))-π/2
    2×atan(0.871549141707519)-π/2
    2×0.716872185530291-π/2
    1.43374437106058-1.57079632675     		φ = -0.13705196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11380220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.520386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13705196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.852499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33955 KachelY 34202 0.11380220 -0.13705196 6.520386 -7.852499
    Oben rechts KachelX + 1 33956 KachelY 34202 0.11389807 -0.13705196 6.525879 -7.852499
    Unten links KachelX 33955 KachelY + 1 34203 0.11380220 -0.13714693 6.520386 -7.857940
    Unten rechts KachelX + 1 33956 KachelY + 1 34203 0.11389807 -0.13714693 6.525879 -7.857940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13705196--0.13714693) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13705196--0.13714693) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11380220-0.11389807) × cos(-0.13705196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990623071349745 × 6371000     		do = 605.060456660248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11380220-0.11389807) × cos(-0.13714693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990610091766068 × 6371000     		du = 605.052528889279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13705196)-sin(-0.13714693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990623071349745-0.990610091766068)×R²
    abs(0.11389807-0.11380220)×1.29795836768531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.29795836768531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.29795836768531e-05×40589641000000     		ar = 366091.772797207m²